CCF20090213056

natomiast G jest fałszywe, co oznacza, że G nie może zostać udowodnione (jeśli system jest spójny), to twierdzenie „ G nie może zostać udowodnione” jest prawdziwe. Ale ponieważ Goznacza, że „G nie może zostać udowodnione”, G jest prawdziwe. To przeczy założeniu, że G jest fałszywe, a więc system jest niezupełny.

Kończąc dowód, Godeł ułożył formułę, która odpowiada twierdzeniu „Jeśli arytmetyka jest spójna, wtedy G można udowodnić”. Formuła okazuje się prawdziwym twierdzeniem w obrębie systemu. Ale Godeł wcześniej wykazał, że G może zostać dowiedzione tylko wtedy, gdy jego zaprzeczenie może zostać także dowiedzione; ponieważ jednak arytmetyka jest spójna, taka sprzeczność nie jest możliwa. Dlatego nigdy nie będziemy mogli udowodnić, że arytmetyka jest spójna, przynajmniej jeśli będziemy polegać na aksjomatach będących jej częścią.

Najistotniejsze jest to, że aby wykazać, że nie można udowodnić jej zupełności i spójności, Godeł użył jej samej. Również żadna skończona liczba dodatkowych aksjomatów nie „naprawi” tej sytuacji. Jeśli istnieją takie dowody, to nie obejmuje ich logika, aksjoma-tyka, czyli w końcu matematyka. Ponadto każda pozamatematycz-na metoda również musiałaby dowieść swojej spójności. Chodzimy więc w kółko i można powątpiewać, czy uda się kiedyś z niego wydostać.

Twierdzenie Godła o niezupełności wydaje się szczególnie źle wróżyć sztucznej inteligencji, przynajmniej takiej, jaką znamy dzisiaj. Komputery nadal są i mogą pozostać na zawsze maszynami logicznymi, operującymi na skończonej liczbie danych za pomocą skończonej liczby instrukcji. Możemy zaprogramować miliard instrukcji („aksjomatów” i „reguł wnioskowania”), a komputer nadal nigdy nie odkryje, lub nawet nie zdoła udowodnić, wszystkich tych prawd, które ludzki umysł sam wynajduje i które udowadnia.

Dylemat więźnia (teoria gier)

Ty i współwinny przestępstwa zostaliście zatrzymani przez policję i odwiezieni na posterunek. Każdy z was został zamknięty w osobnej celi. Oskarżyciel powiedział ci, że policja dysponuje wystarczającymi dowodami, aby posłać was obu na rok do więzienia, ale niewystarczającymi, żeby oskarżyć o poważniejsze przestępstwo. Jeśli jednak przyznasz się i zdecydujesz zeznawać przeciwko swojemu wspólnikowi, zostaniesz zwolniony, podczas gdy on pójdzie na trzy lata do więzienia. Jeśli jednak obaj przyznacie się do tego poważniejszego przestępstwa, policjanci nie będą potrzebowali waszej pomocy i każdy z was odsiedzi dwa lata. Przekonano cię, że twój partner otrzymał taką samą propozycję. Co robisz?

Jest to popularna wersja „dylematu więźnia”, słynnego problemu w teorii gier ~ dziale matematyki zajmującym się podejmowaniem decyzji. (Istnieją jeszcze inne dylematy w teorii gier, takie jak „dylemat tchórza”, którymi zajmiemy się później). Być może akurat nie byłeś ostatnio aresztowany i zastanawiasz się, czemu miałbyś się głowić nad tym zagadnieniem. Ale nie trzeba patrzeć daleko, aby znaleźć „dylematy więźnia” w życiu codziennym. Czy jeśli nadarza się sposobność, omijasz długą kolejkę? Czy płacisz abonament za telewizję publiczną? Czy rozwiązujesz konflikty w pracy, idąc „w zaparte” czy na kompromis? W każdym z tych wypadków stajesz wobec problemu podobnego do dylematu więźnia: Czy naprawdę zyskujesz, postępując samolubnie?

Problem polega na tym, że nie możesz podjąć decyzji, kierując się czysto racjonalnymi przesłankami. Aby zrozumieć dlaczego, wróćmy do naszej historii. Jeśli rozpatrzyć ją z jednej strony, zyskasz, wyznając prawdę, ale gdy popatrzyć z drugiej lepiej, żebyś siedział cicho. Oto możliwe wyniki zestawione w tabeli:

	Partner milczy	Partner zeznaje
Milczysz	1 rok dla ciebie	3 lata dla ciebie
	1 rok dla partnera	partner jest wolny
Zeznajesz	jesteś wolny	2 lata dla ciebie
	3 lata dla partnera	2 lata dla partnera

115