82844 img470 (3)
/wróćmy uwagę, że użyliśmy w ostatnim zdaniu zwrotu „może mieć ekstremum", co oznacza, że nie musi tam mieć ekstremum. Innymi słowy, zerowanie się pochodnej funkcji różniczkowalnej nie wystarcza do tego, by już tam było ekstremum funkcji. Na przykład funkcja f(x) = x3 ma pochodną f'(x) = 3x2. Pochodna ta jest równa zeru dla x0 = 0, a w tym punkcie funkcja / nie ma żadnego ekstremum, co łatwo stwierdzić na podstawie jej wykresu.
Jeszcze jeden problem, jaki się tutaj pojawia, to pytanie, czy funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, które są miejscami zerowymi jej pochodnej. Jeśli jest różniczkowalna, to powiedzieliśmy już, że tak. Powstaje pytanie, czy w punkcie, w którym funkcja nie jest różniczkowalna, może być ekstremum. Oczywiście tak. Rozpatrzmy funkcję /(x) = |x|. Mamy
f-1 dlax<0
/'W = , „
[1 dlax>0
(jak wiemy nie istnieje /'(O)). Pochodna nie ma miejsc zerowych, natomiast funkcja / ma ekstremum w punkcie x0 = 0, co łatwo zauważyć, analizując wykres tej funkcji.
A więc podsumowując, stwierdzamy: funkcja może mieć ekstrema albo w punktach, w których jest różniczkowalna i pochodna jej jest równa zeru, albo w punktach, w których sama funkcja jest określona, ale jej pochodna nie istnieje. Skłania nas to do przyjęcia następującej definicji:
DEFINICJA 4.
Niech funkcja / będzie określona w pewnym przedziale otwartym (o, b). Punkt x0 e (a, b) nazywamy punktem krytycznym wtedy i tylko wtedy, gdy f'(xo) = O lub /'(x0) nie istnieje.
Punkty krytyczne bywają również nazywane punktami stacjonarnymi albo punktami „podejrzanymi o ekstremum”.
Z rozważań przeprowadzonych przed ostatnią definicją wynika, że w punkcie krytycznym funkcja może mieć ekstremum, ale nie musi. Tak więc trzeba przedstawić jeszcze inne twierdzenie, które poda nam warunki pozwalające określić, czy w punkcie krytycznym na pewno jest ekstremum.
TWIERDZENIE 6. (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).
Niech funkcja / będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0, ciągła w punkcie x0 oraz różniczkowalna w zbiorze S (x0) u S+(x0). Niech x0 będzie punktem krytycznym tej funkcji. Jeżeli
(1) /'(x) > O dlax e S_(x0) oraz /'(x) < O dlax e S+(x0) (mówimy: pochodna zmienia w punkcie x0 znak z dodatniego na ujemny)
albo
(2) /'(x) < O dla x e S_(x0) oraz /'(x) > O dlax e S+(x0) (pochodna zmienia w punkcie x0 znak z ujemnego na dodatni)
albo
(3) f'(x) < 0 dlax e S._(x0) u S+(x0) lub f'(x) > 0 dlax e S_(x0) u S+(x0) (pochodna nie zmienia znaku w punkcie x0),
to w przypadku (1) funkcja ma maksimum lokalne właściwe w punkcie x0, w przypadku (2) minimum lokalne właściwe w punkcie x0, natomiast w przypadku (3) nie ma ekstremum lokalnego w punkcie x0.
Dowód.
Udowodnimy twierdzenie dla przypadku, gdy spełnione jest założenie (1). Weźmy w tym celu dowolne x e S_(x0) u S+(x0).
Jeżeli x e S„(x0), tzn. x < x0, to rozważmy przedział (x, x0). Funkcja / jest ciągła w tym przedziale, różniczkowalna w przedziale (x, x0), a więc spełnia założenia twierdzenia Lagrange’a. Zatem, na mocy tego twierdzenia, istnieje taka liczba c e (x, x0), dla której
f{xo) -/(*) = f'(c) (Xq — x).
Z założenia (1) mamy /'(c) > O, a więc iloczyn po prawej stronie ostatniej równości jest dodatni. Dlatego też musi być spełniony warunek
/(x0)-/M >0,
czyli
/W < /(*o) (dla* e S_(x0)).
Jeżeli zaś x e S+(x0), tzn. x > x0, to rozważając teraz przedział (x0, x), otrzymujemy analogicznie
/W -/(*o) = /'(c) (x — x0) ■
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
kiem nierozstrzygalnym. Co oznacza, iż nie mamy pewności, że wnioskowanie zakończy się w skończonym
45 (464) if: end vhil«; «nd {procraz* Podobno ogromną zaletą tego algorytmu jest to, że nie musi on
DSCF0557 ffozdział 11 Prawdopodobnie każdy ze studentów doszedł do wniosku, że nie musi się śpieszyć
czasu w maszynie przestawił się automatycznie na zero. Komputerowi wydawało się, że nie musi si
page0221 DEFINICYĄ CZASU. 215 Jedno zasługuje na uwagę, że krąg ostatni świata, ów Olimp ognisty, mi
skanuj0047 (8) stronie węglanów SrCOi i CaCOi. Zwróćmy uwagę, że do tych wniosków doszliśmy już na p
METODOLOGIA BADAŃpraca naukowa - charakterystyka (2) Należy również zwrócić uwagę, że poprawność
skrypt087 (2) 172 Laboratorium Podstaw Elektrotechniki / e=- p Należy więc zwrócić uwagę, że wzory (
więcej podobnych podstron