55169

Układ n całek y,,...,y_n równania jednorodnego nazywamy układem podstawowym całek tego równania, jeśli wrońskian

W(x)& 0 dla \/xe(a,b), gdzie wrońskiancm nazywamy wyznacznik

Uwaga

3x_Q<=(a,b) : W(x₀) =0 =>\A<=(a,b) W(x) = 0,

3x₀e(o,b) : W(x₀) *=0 =>\Ae(a,b) W(x) *=0.

Uwaga

Niech

y\»"'*y_n są całkami szczególnymi równania jednorodnego.

Wtedy

y_l,...,y_n są układem podstawowym całek RJ <=>y, ,—,y„ są liniowo niezależne. Uzasadnienie

Y\ »—»y_n są liniowo niezależne tzn.

n

^C_ky_k(x) =0 dla x€ (a,b) <=> C_k =0 Vk=l,..., n.

k=l

n

Różniczkując kolejno równanie /    (x) = 0 otrzymujemy układ równań liniowych

i

cjil>f)+c₂)'₂Uił...+cj„UI = o

CjiW+C₂y₂(x)+...+ Cj.(x)=0 Cj_I'-^1,(x)+...+ Cji"-^,,(x)=0

którego rozwiązaniem jest C, =C₂ =... =C„ = 0 <=>gdy wyznacznik macierzy odpowiadającej układowi, czyli wrońskian jest niezerowy.

Twierdzenie

Jeśli

- układ podstawowy całek równania jednorodnego, to

kombinacja liniowa / ,C_Ły_Ł jestCORJ.

Zatem aby rozwiązać RJ wystarczy wyznaczyć układ podstawowy całek tego równania, a następnie utworzyć jego kombinację liniową.

Jeśli już znamy CORJ, to stosujemy jedną z dwóch metod: