3582334365

Zauważmy, że jeżeli układ (8.1.1) jest układem jednorodnym, to macierz uzupełniona U powstaje przez dopisanie do macierzy głównej A kolumny złożonej z samych zer. Zatem rzędy tych macierzy są takie same, co oznacza, że każdy układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie. Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelliego ma on rozwiązanie niezerowe tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej jest mniejszy od liczby niewiadomy eh.

Do rozwiązywania układów równali liniowych możemy zastosować metodę eliminacji Gaussa. Każcdmu układowi równań odpowiada pewna macierz uzupełniona i na odwrót mając daną macierz możemy ją potraktować jako macierz uzupełnioną pewnego układu równali liniowych. Stosując metodę eliminacji Gaussa do rozwiązania układu równań sprowadzamy jego macierz uzupełnioną do macierzy następującej postaci

r 1	0	0	1 Pl,r+1	Pl,r+2 •	• Pin	1 zi
0	1	0	1 P2,r+1	P2.r+2 •	• P2n	1 22
0	0	1	1 : I Pr.r+1	Pr,r+2	• Prn	1 2r
. 0	0	0	1 o	0	0	1 2r+1 -

gdzie rzA = r. Wówczas,

1) jeżeli Zr+1 ^ 0, układ jest sprzeczny,

2)    jeżeli ostani wiersz nie pojawi się i n = r, to układ jest oznaczony i ma rozwiązanie postaci

£l = Zif X₂ —    • • •»2?n ⁼ 2_n.

3)    jeżeli ostani wiersz nic pojawi się i n > r, to układ jest. nieoznaczony, a jego rozwiązania zależą od parametrów (x_r+i,x_r+2, • • • ,x_n) w następujący sposób

-2*1 ‘		Z\ ‘		'Pl.r+1	Pl.r+2 •	•• Pin'		^r+1
X2	=	22	-	P2,r+1	P2.r+2 •	• • P2n		Xr+2
.Xr.		.Zr.		■ Pr.r-fl	Pr.r+2 •	• • Pm -		. Xn .

Zadanie 8.1.1. Rozwiąż podane układy równań

X\	+6x2	-X3 = 0
-X\	-4X2	+5x3 = 6
3a:i	+ 17X2	= 0
2xx	+ 13^2	+5x3 = 8

X\	+2x2	+3x3	Xą	= 0
3xj	+6x2	+3x3	+Xą	= 5
2x,	+4x2	+7x3	-4xą	= -6

Zadanie 8.1.2. Przedyskutować rozwiązalność podanych układów równań w zależności od wartości parametru p.

1	f XI	+px2	-X3	= 1
^a)	1 *^Cl	— 10x2	-6X3	= 3
1	[ 2xi	-x2	+PX 3	= 0

2xi	+3x2	-X3	= 0
	/xr2	+(p+ l)x3	= -1
x\	+5x2		= 1
2x,	+x2	+3x3	= -1