3582320634

1

Wykład 6

Homomorfizm, izomorfizm grup

££ Definicja.

Homomorfizmem grupy (C, •) w grupę (H, °) nazywa się takie odwzorowanie (p: G —>H, które dla dowolnych a,be G spełnia warunek:

(p( a*b) = (p(ćv) ⁰ y(b)

Homomorfizm (p grupy (G, •) w grupę (H, °) nazywamy monomorfizmem, gdy odwzorowanie

(p: G —»H jest injekcją, tzn. z równości cp(«i) = ty(ci₂) wynika ci\ = <12. Homomorfizm (p nazywamy epimorfizmem, gdy odwzorowanie cp: G -^H jest surjkcją, tzn. z dla każdego elementu y e H istnieje element x e G dla którego

<p( *) = >’•

a Twierdzenie 6.1.

Jeśli <p jest homomorfizmem grupy (G, •) w grupę (H, °) z elementem neutralnymi e\ i e₂ odpowiednio, to dla Vae G.

tp( ei)= e₂ i

_tp(a¹)=(p(a)~^ł_

Dowód.

<p(a) = cp(«* ej) = (p(ci) ⁰ (p(ej) oraz

(p(a) =(p(ej*fl) = =<p(e,) ⁰ cp(a), a więc (p(ei)= e₂.

Dla \/cie G

e₂=(p(e 1) = <p(a*a^l) = <p(n) ⁰ <p( a¹) oraz

e₂= <p( ej) = <p( a'•a) = (p( a') ⁰ (p( a), a więc <p( a ') = <p(z7) ¹. ♦

& Definicja.

Jeżeli tp: G —> //jest homomorfizmem grup i e₂ jest elementem neutralnym grupy //, to zbiór

Ker <p = { a e G I <p(a) = e₂} nazywamy jądrem homomorfiz.mil cp.