3582320369

Zestaw 3 Izomorfizm grup, rzgd elementów

1.    Znaleźć wszystkie homomorfizmy grupy Z₁₈ w grupę Z₁₅.

2.    Niech p: G —> G' będzie homomorfizmem grup i niech e i ej będą elementami neutralnymi grup G i G'. Udowodnić, że p(e) = e¹.

3.    Niech p: G —> G' będzie homomorfizmem grup. Wykazać, że dla dowolnego o £ G zachodzi równość p(a~— (^(a))^-1.

4.    Niech p: G —*■ będzie izomorfizmem grup. Wykazać, że funkcja p~^x: G' G jest izomorfizmem grup.

5.    Ile elementów mają następujące grupy: Z₇₅, Z₈₄, Z*₅?

6.    Sprawdzić, czy grupy są izomorficzne. Jeśli tak, to znaleźć izomorfizm grup:

a) (Z^,-) i (Zjxj,+), b) (Z|,-)i(Z_e,+), c) (Z4,+) i (Z2x2,+), d) (Zg,+) i (Z2x3i+).

7.    Niech D będzie zbiorem całkowitych potęg liczby 2. Niech działanie o będzie określone następująco: xoy — ^-.

a)    Sprawdź, czy odwzorowanie /(2^fc) — k — 1 jest izomorfizmem grup (£>, o) oraz (Z, +).

b)    Czy grupa (D, o) jest cykliczna? Jeśli tak, to wskaż jej generator.

8.    Znaleźć najmniejszy generator grupy Z₃₁.

9.    Czy liczba 3 jest generatorem Zg₃?

10.    Czy cykliczna jest grupa (Z, ©), gdzie działanie © określone jest wzorem a©6 = a + 6 — 5? Jeśli tak, to wyznacz generatory tej grupy.

11.    Która z grup jest cykliczna: Zg, Z|, Z*₅?

12.    Udowodnić, że każda grupa cykliczna jest abelowa.

13.    Udowodnić, że dla każdego a G G zachodzi rza = rz(a^-1).

14.    Znaleźć najmniejszy generator grupy Z*₇, a następnie określić izomorfizm grup p: Z₁₆ —> Z*₇. Zbudować tabelkę wartości funkcji p. Wykorzystując izomorfizm p, rozwiązać w grupie Z^₇:

a) 7a:⁴ — 10, b) 8a:⁶ — 2, c) llz³ — 2.

1