65041

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IM

9. Funkcje (badan ie funkcji)

1. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji

0 /(x)=*-VJ;

g) f(x)=e‘ sin.t.

a) f(x)-2x³—\5x² + 36*-14;

c) f(x)=x‘;

d) f(x)-x^x;

2. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia podanych funkcji

d)    /(jr)=sin²jc;

e)    f(x) = x²\nx\ 0/W=(l + x²V

a) f(x)-x* -6.r² -6.v+ I;

^b)

U-U

c) f(x) = e^r'-.

3. Zhadać przebieg zmienności podanych funkcji a następnie sporządzić ich wykresy

a) f(x)=x*-3x²+4 :

c) f(x) = e ' ;

d) /W=-^t I -x

e) /(x)=xlnjr;

0 /(.t) = jrV*.

4. Rozwiąż zadania

a)    Pod jakim kątem powinien być nachylony płaski dach przykrywający dom o ustalonej szerokości, aby krople deszczu spływały po nim najszybciej? (a = n/4)

b)    W którym miejscu na linii bocznej boiska trzeba ustawić piłkę, aby szansa trafienia nią do bramki była największa? Przyjąć, że szansa trafienia jest największa, gdy kąt widzenia bramki jest największy. Szerokość boiska wynosi a = 64m. a szerokość bramki b = 7m. (x = 31.8m)

c)    W kulę o promieniu R wpisano walec o największej objętości. Znaleźć wymiary tego walca.

d)    Dwa samochody poruszają się ze stałymi szybkościami v, = 120km/h. v₂ = 80km/h po autostradach przecinających się pod kątem prostym. Położenia początkowe samochodów wynoszą d_x = 50 km i d₂= 20km (d - odległość samochodu od osi jezdni, po której porusza się drugie auto). Kiedy odległość między samochodami będzie najmniejsza? (f =0.36h )