68180

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IM

5. Funkcje (ciągłość, nieciągłość)

1. Korzystąjąc z definicji Heinego uzasadnić ciągłość podanych funkcji na R

a) f(x)=2x*-3x+5:    e) /(jc)=sin²x;

b) /(.«)

2*+3.    f)/(.t) = 2';

X' +1

c)    f{x)=yjx* +2;

d)    /(.t) = cos.r;

2. Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach

g> fU)=e';

h) f(x)= '4x .

/(*>■

ViTr-l

. dla x*0 dla x = 0

/W=

+ x . dla .v * 2

dla v = 2

x_n = 0

c)

/(*)«

b)

f . I    I    _n

l.rsin — cos— . dla .v*() [(>, '    ' dla x = 0

/ M-

*o =0

e^x +2

i

e‘ +1 e,

dla ,v*0 dla v = 0

d)

3. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach (skorzystać z twierdzenia Darboux)

a)4’=jr², (-1,0):

d)    + 6* - 2 = 0, (O.l);

e)    3* +5' =9. (1,2);

c) ctgx = x,    o x² + ln.v = 0, ^-,lj.