65036

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IM

4. Funkcje (granice, asymptoty)

1.    Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji uzasadnić podane równości

a)    lim(2x-7)=I;

1-44

b)    lim = 2;

*-*- x +1

2.    Uzasadnić, że podane granice nie istnieją

a)    lim-^;

*-*°x

b)    lim sin —:

*-»c x

c) lim -4= '-⁰*

d) lim (l-x² )=-<».

c) lim cosx; 1

d) lim

x-*0

+ e'

3. Korzystając z tw ierdzeu o arytmetyce granic funkcji obliczyć podane granice

1 I    .

. .. X' -x* +x-1

a)    lim—5—=-

*-»' x +x* -x-l

b)    lim-

i^-*⁰    X

g)    lim-^j—-:

*-*» x -1

....    2*4-1

h)    lim

-3‘ + 2

c) lim

ViT7+2

-

d) lim

x

Vx-10'

• V    tg*’x4-l

i) lim «--;

„'tg*+ 5

2

-o^-10² ‘

j) lim

VF+x-ViTr

2x

I

x arcctg—:

*-*O^m    X

25' -9"

e) lim x'arcctg

*-♦0*

0 lim

k) lim

x*-l

*-• l-x

.2

5’-3'

I) lim

x‘ -5x4-4 x(x-5)

4. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić podane równości

a) limxsin—= 0;

.. x*4-sinx b) lim—;-= 1;

ln(2' + l) ,    .

c) lim—t--( = log,2;

ln(3'+l)    ³

d)    limx'arctg— = 0.

»-ł0

*-*-x -cosx

5. Korzystając z tw ierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnić podane równości

I

a)    lim(2sinx-x)=-<»;

b)    lim —p=L=r = oo;

2 4-sin

c)    lim-= °°;

i-*0    x~

d)    lim 2* (2 4-cosx) = oo.

6. Znaleźć asymptoty podanych funkcji

sinx

a) f(x)=

b) /(a)

X

x³-l

e) /(a)

x-i

0 /W=-h-;

1 — X*

d) /(x)=c‘^,sinx4-x:

Vx²-9 * D/(x)t ^SinV

g) /W=

X-7t 1

C‘-I