3582316265

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

WEMiF, II kolokwium, 10 czerwca 2011 r. Zestaw A

1. Znaleźć wszystkie ekstrema funkcji

f{x,y)= 3 + (x² - y)² + (y² - x)²

Rozwiązanie. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum mamy

% = 2 (x² - y) • 2x - 2 (y² - x) = 0,

3£

&y

= -2 (x² - y) + 2 (y² - x) • 2y = 0.

Z pierwszego równania wyznaczamy y² - x = 2x(x² — y) i wstawiamy do drugiego. Wtedy otrzymamy -2 (X² — y) + 8xy (s² — y) = 0. Stąd dalej mamy:

(x² - y) (4xy - 1) = 0.

Postępując analogicznie z drugim równaniem otrzymamy zależność:

(y² - x) (4xy - 1) = 0.

Rozwiązaniami układu tych równań są punkty :

r xi = o,    r X2 = i,    r

1    = 0;    \ 2/2 = 1;    \

x_a

2/3

1

2’

1

2

Przechodzimy do warunku wystarczającego istnienia ekstremów. Mamy

= 12x² - 4y + 2,

< Łk ⁼ H ^{= _4}(^{x +} y)'

|j^r = 12y² - 4x + 2.

Badamy znak hessjanu w punktach „podejrzanych o ekstrema”. W punkcie Xj = 0, yj = 0 mamy

0{o,o)

«(0,0) = det

(0,0)

ifk (o, o) 0 (o, o)

det

2 > 0 0 0 2

> 0.

dx&y V J /    Qy²

Zatem jest to minimum lokalne właściwe. Podobnie w punkcie xa = 1, y% = 1 mamy

H (1,1) = det

‘ 0(1,1)	E»(*|l)	= det	' 10 > 0	-8 '
. M Ui^1)	0d,i).		-8	^10 .

> 0.

Więc także tu funkcja ma minimum lokalne właściwe. Natomiast w punkcie x_a = y_a funkcja / nie ma ekstremów lokalnych, gdyż

H

Ilj

2’2)

det

j*tL (I i)

&x&y \2’ 2/

&l (1 i)

&x* i2’ 2/

ećf (i    /i i\

dx&y i23 2)    dyS i2’ 2)

det

< 0.

1