22962

Zestaw 3

Izomorfizm grup, rząd elementów

1.    Znaleźć wszystkie homomorfizmy grupy Zi₈ w grupę Z15.

2.    Niech ip: G —* G' będzie hoiuoiuorfizmem grup i niech e i e' będą elementami neutralnymi grup G i G'. Udowodnić, że p(c) = e'.

3.    Niech p: G —* G' będzie homomorfizmem grup. Wykazać, że dla dowolnego a € G zachodzi równość <^(a^-1) = (^(«))^_l-

4. Niech <p \ G —* G' będzie izomorfizmem grup. Wykazać, że funkcja p~^l: G' —* G jest izomorfizmem grup.

5.    Ile elementów mają następujące grupy: Zf_v Zg.,, ZJ₅?

6.    Sprawdzić, czy grupy są izomorficzne. Jeśli tak, to znaleźć izomorfizm grup:

a) (Z;₂..)i(Z_2x2,+), b) (Zg, •) i (Z₆, +), c) (Z₄.+) i(Z₂X2,+), d) (Z6,+)i(Z2x3,+).

7.    Niech D będzie zbiorem całkowitych potęg liczby 2. Niech działanie o będzie określone następująco: xo y =

a)    Sprawdź, czy odwzorowanie /(2^k) = k — 1 jest izomorfizmem grup (J9,o) oraz (Z. -f).

b)    Czy grupa (D, o) jest cykliczna? Jeśli tak, to wskaż jej generator.

8.    Znaleźć najmniejszy generator grupy Z’_n.

9.    Czy liczba 3 jest generatorem Z53?

10.    Czy cykliczna jest grupa (Z. ©). gdzie działanie © określone jest wzorem a©6 = u + 6 — 5? Jeśli tak, to wyznacz generatory tej grupy.

11.    Która z grup jest cykliczna: Z|, Z_x. ZJ_r>?

12.    Udowodnić, że każda grupa cykliczna jest abelowa.

13.    Udowodnić, że dla każdego a 6 G zachodzi rza = rz(a^_1).

14.    Znaleźć najmniejszy generator grupy Z\-, a następnie określić izomorfizm grup p: Z|₆ —► Z|₇. Zbudować tabelkę wartości funkcji p. Wykorzystując izomorfizm p, rozwiązać w grupie* Z]₇:

a) 7x⁴ = 10. b) 8x⁶ = 2, c) lir* = 2.

1