img021

Wykład 2

Mfełryzacjc rozszerzonej osi liczbowej

Definicja ?.l. Rozszerzony* zbiorem liczb rzeczywistych lub rozszerzony oślę liczbowy nazywamy zbiór Sf zawierający zbiór liczb rzeczywistych R oraz dwa symbole (dwa punkty, dwa elementy)i -ooi ♦<». Zakładamy, że dla Każdego xcR spełniony Jest warunek: -oo<x <.♦ ⁰⁰ ,

W zbiorze f*, podobnie jak w każdym inny* zbiorze, można wprowadzić metrykę na wiele różnych sposobów. Niżej podajemy jeden z nich. Rozpatrzmy funkcję f—*■ <-!,!> określony wzorem

TTTCi ^dl* ^xcR-

f(x)

dla x * ♦ «>, dla x » -«>.

(2.1)

Niech dalej

(2.2)

P (x,y) ■ lf(x) - f(y)l dla x,ycR

Funkcja p Jest odległości? w *ozazerzo«eJ osi liczbowej. Istotnie, aksjomaty tożsamości 1 symotrii .-fynikaję wprost z okrsślsnla funkcji p , zaś aksjomat trójkyta Jest konsekwencję nierówności

p(x,z) » I f(x) - f(z)j£ |f(x) - f(y)|*|f(y) - f (z) | »

* P (x,y) ♦ p(y,z)

Uzasadnić./ teraz, że

(a)    |f(x) - f(y)l^|x - yl dla dowolnych x,yeR,

(b)    jeśli x i y sę liczbami rzeczywistymi takimi, że lf(x)[ < 1—c, lf(y)l < 1-c, gdzie ce(0,l), to

i* - yU =‘² l f(x) - f(y)l

Ad (a). Deśll x > 0 i y>0, to

^,f<^x> - ^f<^y)l “ Itts ~ T^y I “ ITJxfff*yT* ^|x • ^yl