00098504

gdy dla każdych dwóch (różnych) punktów wj i wj' z tego warunek

* I

Z uwagi na przekształcenia 3°, 2° i 1° mamy zatem

— i, czyli «**«+**► # e"¹

a wiec ostatecznie

Zl+Z₂ s⁴ «+2itf

przy czym f oznacza dowolną liczbę całkowitą.

Funkcja sinr jest zatem jednokrotna w obszarze D wtedy i tylko wtedy, dla każdych dwóch (różnych) punktów z, i z_t z tego obszaru oraz dla dwóch liczb całkowitych k i / jest spełniony warunek (III 102) i (111.103).

	%
w*

I

Obszarów takich jest oczywiście nieskończenie wiele. Jednym z nich jest nieograniczony

D:    —7!<Rcz<—r, lmz>0

którego odwzorowanie za pomocą funkcji sraz jest przedstawione na rys. Zauważmy, że funkcja sinr jest całkowita, a zatem holomorficzna w więc rozpatrywane odwzorowanie jest konforemne.

Przykład x ekktroatatyki. Rozważmy pole elektrostatyczne nad i należenia pola są zwrócone ku ziemi, ponieważ — jak wiadomo ujemny. Rozpatrując fragment powierzchni ziemi można uważać go za równomierne. W pobliżu powierzchni ziemi założenia te są praktycznie dopuszczalne.

pole jest w zupełności scharakteryzowane pracz pole płaskie, określone w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny powierzchni ziemi, o potencjale zespolonym

m - z

Linie x = const są ta liniami sił, natomiast linie y = const są liniami stałego potencjału (względem powierzchni ziemi). Natężenie poła E wynosi przy tym (por. wzór (m.S8))

E= -/.J⁵©-

Omówione pole płaskie jest przedstawione na rys. U 1.28.

Przypuśćmy, że na powierzchni ziemi ustawiono prostopadle do niej idealnie przewodzącą przegrodę w kształcie płaskiego pasa o wysokości h pomijalnej grubości i nieskończonej długości. Pole elektrostatyczne ulegnie oczywiście odkształceniu, jednakże będzie płasko-równoległe i da się w zupełności scharakteryzować za pomocą poła płaskiego w płaszczyźnie prostopądłej do powierzchni ziemi i do wprowadzonej przegrody. W celu znalezienia tego pola, w szczególności zaś linii. stałego potencjału i linii sit, odwzorujemy konforemnie górną półptasz-czyznę bez odcinka.

Rez— a, 0< Imr < h

(który jest przekrojem przegrody płaszczyzną póła płaskiego), na całą górną pólpłasz-czyznę. W ten sposób znajdowanie pola w obszarze o bardziej złożonym kształcie (półpłasz-czyzna z- wyciętym odcinkiem) sprowadzimy do znajdowania pola w całei półpłaszczyinie, które to pole jest ńam znane (pole równomierne). Zażądamy przy tym, żeby obrazem wierzchołka a+Jh odcinka był punkt a osi rzeczywistej. Zagadnienie, jakie mamy rozwiązać, jest więc zagadnieniem pierwszego typu według przyjętej przez nas nomenklatury. Na tym przykładzie przekonamy się, jak znajomość pewnych prostych odwzorowań pomaga przy rozwiązywaniu tego rodzaju zagadnień.

Szukane odwzorowanie znajdziemy w pięciu etapach (rys. 111.29):

'    2* w, = w?    51 w = «■*+«

, 3"    «., = *,+**

Gałąź pierwiastka w przekształceniu 4° określamy warunkiem = j. Ostatecznie

w - lĄz-tf+tf+fl    (HU 0*>

Funkcja F,(w) — w jest potencjałem zespolonym obrazu (na płaszczyźnie W) badanego pola elektrostatycznego. Linie « = Const i v = const są odpowiednio liniami sił oraz liniami stałego