5826503879

Dodatek

Zbiór wypukły

Jeżeli dla dowolnych dwóch punktów xi, X2 ze zbioru $)_x punkt x zadany wzorem x = Axi + (1 — A)X2

również należy do zbioru wówczas zbiór ten nazywamy wypukłym.

Funkcja wypukła

Jeżeli dla dowolnych dwóch punktów xi, X2 ze zbioru Q)_x oraz funkcji F : 3)_x —* określonej na tym zbiorze zachodzi nierówność

F(Axi + (1 - A)x₂) < AF(_Xl) + (1 - A)F(x₂),

wówczas funkcję F nazywamy wypukłą.

Forma kwadratowa

Formą kwadratową nazywamy funkcję Q(x) : A%^s o postaci Q(x) = x^T Ax gdzie x £ oraz A £    j_es^ macierzą symetryczną.

Macierz kwadratowa A jest dodatnio (ujemnie) określona, gdy dla dowolnego nie-zerowego wektora x zachodzi x^TAx > 0 (x^TAx < 0).

Macierz kwadratowa A jest dodatnio (ujemnie) półokreślona, gdy dla dowolnego niezerowego wektora x zachodzi x^rAx > 0 (x^TAx < 0).

Macierz kwadratowa A jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej wiodące minory główne są większe od zera.

Macierz kwadratowa A jest dodatnio półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej minory główne są nieujemne.

Macierz kwadratowa A jest ujemnie określona(półokreślona) wtedy i tylko wtedy, gdy macierz —A jest dodatnio określona (półokreślona).