24413

Wniosek 1 Jeśli K jest ciałem skończonym to każda funkcja K —* K może być zapisana jako wielomian.

Kongruencje w pierścieniach wielomianów

Niech K będzie dowolnym ciałem i niech K\x] oznacza pierścień wielomianów nad K. Niech f{x) G K [_r]. Rozważmy następującą relację. Jeśli g(x),h(x) € K[x\ to:

g(x)~jh(x) f{x)\(g(x) - h(x))

Relacja ~/ jest relacją równoważności w K[x\. Ponadto spełnia ona następujące własności:

g(x)~_fh(x) 1    (0(*)+0i(*))~/ {h(x) + hi{x))

9i(x) ~f hi(x) ) g(z)gi(x) ~_f h(x)hi{x)

Relację tą nazywać będziemy relacją przystawania modulo f(x) lub kongru-encją w pierścieniu K[x]. Podobnie jak dla analogicznych relacji w pierścieniu liczb całkowitych, relacja przystawania pozwala nam wprowadzić działania w zbiorze klas abstrakcji:

[</(*)] + [/*(*) ] = W*)+M*)]

[s(*)j • [M*)l = to(*)M*)]

Zbiór klas abstrakcji oznaczać będziemy w tym przypadku przez K[x\/(f(x)).

Twierdzenie 1 Struktura (K[x]/(f(x)), +, •) jest pierścieniem przemiennym z jedynką. Zerem jest klasa [0], a jedynką [1].

Jak można opisywać klasy abstrakcji tej relacji? Okazuje się, że istnieje prosty sposób takiego opisu.

Załóżmy, że wielomian f(x) który definiuje naszą relacje ma stopień n. Wtedy w każdej klasie alwtrakcji istnieje dokładnie jeden wielomian stopnia mniejszego niż n. Rzeczywiście jeśli wielomian g(x) ma stopień większy od n to możemy podzielić g{x) przez f(x) z resztą:

g(x) = q(x)f(x) + r(x), r(x) = 0 lub st(r(x)) < st(/(x))

i wtedy wielomiany ry(x) i r(x) są ze sobą w relacji. A więc każda klasa abstrakcji jest jednoznacznie wyznaczona przez wielomian stopnia mniejszego niż stopień wielomianu f(x).

Twierdzenie 2 Struktura K[x]/(f(x)) jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy f(x) jest wielomianem niemzkładalnym nad K.

2