54869

oznaczamy L(A). Jeśli W = L(A), to mówimy, że A generuje podprzestrzeń W lub jest zbiorem generatorów W.

TWIERDZENIE. Niech V[K] będzie przestrzenią liniową nad K oraz AęV. Jeśli A = 0, to L(A) = 0. Jeśli A *0, to v e L(A) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczba całkowita m, v_b ...,v„, e A , aj, ...,a«€ K, takie że v = aiVi + .... + a_Bv_B.

DEFINICJA. Niech V[K] będzie przestrzenią liniową nad K. Kombinacja liniową wektorów v_b..., v„e V o współczynnikach aj,..., a„ e K nazywamy wektor a |V| + .... + a„v_lv.

PRZYKŁAD. Niech A € M“ (K). Układ równań Ax =b ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy b e L(c'(A),..., c'XA)) (<=> b jest kombinacją liniową kolumn macierzy A)

2.2.    DEFINICJA. Niech V[K] będzie przestrzenią liniową nad K. Mówimy, że wektory v„ e V są liniowo niezależne (lub że układ wektorów (v_b..., v_n) jest liniowo niezależny), jeśli dla dowolnych współczynników a_b ..., a„ e K z warunku aiVi + .... + a„v_n = 0, wynika, że ai = aj = ... =a„ = 0. W przeciwnym przypadku mówimy, że wektory v_b..., v„ są liniowo zależne (układ wektorów (vi,..., v„) jest liniow o zależny). Dokładniej: wektory v_b..., v„ są liniowo zależne, jeśli istnieją współczynniki a_b a* ...,a„ e K, nie wszystkie równe 0, takie że aiV, + .... + a„v_n = 0. PRZYKŁAD. Niech A e M*(K). Kolumny macierzy A tworzą układ liniowo niezależny w M„(K) wtedy i tylko wtedy, gdy układ równań AX = 0 ma tylko rozwiązanie zerowe.

DEFINICJA. Niech A będzie nieskończonym układem wektorów z przestrzeni V[K]. Mówimy, że układ A jest liniowo niezależny. jeśli każdy skończony podzbiór tego układu jest liniowo niezależny. W przeciwnym przypadku mówimy, że A jest liniowo zależny.

2.3.    TWIERDZENIE. (Własności wektorów liniowo niezależnych i liniowo zależnych)

Niech V[K] będzie przestrzenią liniową oraz v, v_b ..., v„ będą wektorami z V. Wtedy:

1.    układ (v) jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy v * 0;

2.    jeśli (v_b ...,v„) jest układem liniowo zależnym, to również układ (v, v_b ...,v„) jest liniowo zależny.

3.    jeśli (v_b ...,v_n) jest układem liniowo niezależnym, to również układ (v_b ...,v_k) jest liniowo niezależny, gdzie k < n.

4.    układ (v_b ...,v„) (n > 1) jest układem liniowo zależnym wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z wektorów v, jest kombinacją liniową pozostałych.

5.    jeśli (v_b ...,v_n) jest układem liniowo niezależnym, to układ (v, v_b ...,v„) jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy v e L(v_b ...,v„).

TWIERDZENIE. Niech w _b ...Wn, e L(v_b ...,v_n) oraz m > n. Wtedy wektory w_b ...w_msą liniowo zależne.

2.4.    DEFINICJA. Niech V[K] będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Układ B wektorów z V nazywamy bazą przestrzeni V, jeśli