3813573793

3

4 KRATY I ALGEBRY BOOLE ’A

Wniosek 4.27. Krata wszystkich podgrup grupy przemiennej jest modularna.    m

Stwierdzenie 4.28. Krata wszystkich podprzestrzeni przestrzeni wektorowej jest modularna.    ■

Twierdzenie 4.29. Krata K nie jest modularna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera podkratą izomorficzną z kratą N§.

Jeśli K jest kratą, a,b G K oraz a < h, to [a, b\ := {x € K \ a < x < b} jest podkratą kraty K.

Twierdzenie 4.210. *** Niech K będzie kratą modularną, oraz niech a,b € K. Przekształcenia

<p_a : [6,a + b] —> [ab,a]; x    xa,

'ifb : [ab, a] —> [b, a + b]; y    y + b

są wzajemnie odwrotnymi izomorfizmami krat.    ■

Jeśli K jest kratą oraz a, b są różnymi elementami K, a ponadto z warunku a < c <b wynika, że a = c lub c = b, to mówimy, że a poprzedza b i piszemy a -< b.

Wniosek 4.211. Niech K będzie kratą modularną, oraz niech a,b G K,a ^ b. Wtedy

(a)    {ab -< a,b) => {a,b -< a + b);

(b)    (a, b -< a + b) => {ab -< a, b).    ■

Twierdzenie 4.212. *** Wszystkie maksymalne łańcuchy łączące x < y w kracie modularnej skończonej długości mają jednakową długość.    m

Twierdzenie 4.213. Krata modularna nie jest rozdzielna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera podkratę izomorficzną z M3.