3813573795

5

4 KRATY I ALGEBRY BOOLE ’A

Twierdzenie 4.36. Każda krata rozdzielna jest izomorficzna z pewną kratą zbiorów.    m

Definicja 4.37. Element a kraty ograniczonej K nazywamy uzupełnieniem elementu b E K, jeśli

o-6 = 0 oraz a + 6 = 1.    ■

Twierdzenie 4.38. Każdy element ograniczonej kraty rozdzielnej posiada co najwyżej jedno uzupełnienie.    ■

Definicja 4.39. Kratę ograniczoną, w której każdy element posiada uzupełnienie nazywamy kratą uzupełnialną. Krata Boole ’a jest to uzupełnialna krata rozdzielna.    ■

Uzupełnienie elementu a ograniczonej kraty rozdzielnej oznaczamy symbolem a'.

Lemat 4.310. Niech K będzie kratą Boole’a. Wtedy dla wszystkich x,y € K:

(a)	0' = 1,	l' = 0,
(b)	x" = X,
(c)	(x + y)‘	= x' ■ y'
	(x ■ y)^1 -	= + y'
(d)	x-l/ =	(x' + y'Y
	x + y =	(x'-y')'
(e)	xy' =	0 -s-

Element a ograniczonej kraty K nazywamy atomem, jeśli 0 -< a.

Twierdzenie 4.311. Niech K będzie kratą skończoną. Niech A(K) będzie zbiorem wszystkich atomów K, a n ich liczbą.Następujące warunki są równoważne.

(a)    K jest kratą Boole’a,

(b)    K a P(A(K)),