3813573794

4

4 KRATY I ALGEBRY BO OLE ’A

4.3 Reprezentacje krat rozdzielnych i algebr Boole’a

Definicja 4.31. Podzbiór / zbioru uporządkowanego (P, <) nazywamy ideałem porządkowym, jeśli

(x < y, x e P, y e I) => {x e I).    •

Lemat 4.32. Zbiór uporządkowany (/(P),C) wszystkich ideałów porządkowych w (P, <) jest kratą rozdzielną. Przy tym

/+J=/UJ

I • J = I n J.    m

Definicja 4.33. Element a ^ 0 kraty K nazywamy sumówo-nierozkładałnym, jeśli dla b,c G K

(b + c = a) => (b = a lub c — a).    ■

Niech S(K) oznacza zbiór wszystkich sumowo-nierozkładalnych elementów K. Dla a G K, niech

s(a) := {rc G S(K) \ x < a}

Twierdzenie 4.34. (Birkhoffa o reprezentacji skończonych krat rozdzielnych) Niech K będzie skończoną kratą rozdziełną. Przekształcenie

s :K -> I{S{K))- a ^ s(a)

jest izomorfizmem krat.    ■

Wniosek 4.35. Niech K będzie kratą skończoną. Następujące warunki są równoważne.

(a)    K jest rozdziełną,

(b)    K “ I(S(K)),

(c)    K jest izomorficzna z pewną kratą zbiorów,

(d)    K < 2ⁿ dla pewnego n G N, gdzie 2 jest kratą 2-elementową.    ■

Uwaga. Krata 2ⁿ jest izomorficzna z krata P(X) wszystkich podzbiorów n-elementowego zbioru X oraz z kratą wszystkich funkcji 2^X ze zbioru X w kratę 2. Przekształcenie

h : P(X) —> 2^X\ A1—> J_A ■ X -> 2,

gdzie    = {1} oraz /a(X — A) = {0}, jest izomorfizmem krat.