3813573791

Algebra i jej zastosowania konspekt wykładu, część druga

Anna Romanowska January 29, 2016

4 Kraty i algebry Boole’a

4.1 Kraty zupełne

Definicja 4.11. Zbiór uporządkowany (P, <) nazywamy kratą zupełną, jeśli V S C P istnieje /\ S i V S.    ■

Uwaga. Każda krata zupełna ma element największy i element najmniejszy. Przykłady krat zupełnych

(a)    Kraty skończone

(b)    ([x, 2/],<), gdzie x,y tżM. i x < y.

(c)    (P(4S),

(d)    (N, |). (Umawiamy się, że liczba 0 należy do zbioru N.)    ■

Twierdzenie 4.12. Niech (P, <) będzie zbiorem uporządkowanym. Następujące warunki są równoważne.

(a)    (P, <) jest kratą zupełną,

(b)    V S C P 3 A S,

(c)    VSCP3 \/S.

Wniosek 4.13. Niech X będzie zbiorem oraz niech C C P(X). Jeśłi

(a)    V {Aihei S £, (1 ieiAieC,

(b)    X s C,

to wtedy (C,ę) jest kratą zupełną.    ■

1