9773562919

(2.6) Twierdzenie Wedderburna. Każda prosta K-algebra A jest izomorficzna ze skończoną sumą prostą algebr postaci M_nt(Di), gdzie Z), są -algebrami z dzieleniem.

Dowód. Wiemy, że regularny ,4-moduł A ma skończony rozkład na sumę ^4-modułów prostych V). Pogrupujmy te składniki tak, by moduły należące do tej samej grupy były parami izomorficzne, zaś należące do różnych grup - nie:

{Vn,...,V_lni}, {V₂₁,...,V_2ni}, ••• ,{Vki,--.,V_lnk}.

Zauważmy, że jeśli moduły V, V' leżą w różnych grupach, to każdy A-homomorfizm V —> V' jest zerowy. Zdefiniujmy nowe A-moduły:

1^ = 014, dla i=l,...,k.

Wówczas dla i j każdy Ahomomorfizm Wi —> Wj jest zerowy. Stąd oraz z równości A = W\ © • • • © Wk wynika, że

End„(>l) = End>i(Wi) © • • • ® End^W*).

Wobec tego, na mocy (2.4), mamy

A = End_A(A)^opp = End_A(W₁)^opp © • • • 0 End_A(W_k)^opp.

Na mocy (2.5) mamy Stąd

End^(Wi)^opp«M_n.(Di), gdzie D₁^opp = End^Pa) A = M_ni(Di) © • • • © M„_k(Dk). □

(2.7)    Stwierdzenie. Jeśli K jest ciałem algebraicznie domkniętym, A jest if-algebrą, zaś V jest A-modułem prostym, to pierścień z dzieleniem D = End^(T) jest izomorficzny z K.

Dowód. Wybierzmy dowolny element <5 € D. Ponieważ ciało K jest algebraicznie domknięte, przekształcenie liniowe S ma wektor własny 0 v € V: S(v) = \-v dla pewnej wartości własnej A 6 K. Skoro (<5—A-l)(u) = 0, przekształcenie 5 — A • 1 € D nie jest odwracalne, zatem <5 — A • 1 = 0. Wynika stąd, że ó € K. □

(2.8)    Stwierdzenie. Jeśli G jest grupą skończoną, zaś K jest ciałem algebraicznie domkniętym oraz char(/f) \ |G|. to

KG = M_ni {K) © • • • © M„_k (K). □

Zauważmy, że porównując wymiary obu stron nad K otrzymujemy    = |G|.

Liczby naturalne k oraz n\,... .Tik są ważnymi niezmiennikami grupy G. Zajmiemy się teraz wyjaśnieniem ich związku z G.

Niech KG będzie dowolną algebra grupową. Dla skończonej klasy sprzężoności C C G zdefiniujmy element C = Z{9 -9 € C) € KG.

(2.9)    Twierdzenie. Centrum algebry KG jest podprzestrzenią liniową rozpiętą przez elementy Ć, gdzie C przebiega zbiór skończonych klas sprzężoności w grupie G.

Dowód. Element a € KG jest centralny wtedy i tylko wtedy, gdy jest przemienny z każdym elementem h e G, to znaczy gdy mamy hah~^l = a dla wszystkich h S G.

Oczywiście warunek ten jest pełniony dla elementów C. Niech a = ^ a_gg € KG będzie elementem centralnym. Z warunku hah~¹ = a wynika, że

■ g dla h € G.

^aghgh-¹ =J2^an

2