przebieg zmiennosci funkcji

Twierdzenie: Asymptota ukośna

Prostay - cix + Z? jest asymptotą ukośną wykresu funkcji y = /(x), wtedy gdy: a = lim ^^X^ i b = lim [/(x) - ax]

X—>±CO X    > ±03

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI - przykładowe zadania ZADANIE 1

?Jest tak dlatego' że funkcjarfto wielomian okre-; ^!ślony w zbiorze liczb rzeczywistych. Przedział;

t -i'____: :

i Aby .znaleźć punkty, wspólne z osią 0X, należy 'wzór funkcji przyrównać do zera'.„W tym-przy-:ą)adku rozwiązujemy równanie dwukwadratowe,' Ćppdstawiając pomocniczą niewiadomą: :

:    ■    i-    .    . .

2-2^3

2    2V3

2 2

1-V3 •f- odrzucamy

. Uzyskane wartości f,, f, wstawiamy ponownie qArównaniaY.==: t. Wartość f, = 1 -kJnaieży; _: wyeliminować, ponieważ jest mniejsza od zera.:.

: C . _    _• '    V - ^; ■    . :

2 + 2^3    2    2V3 _r

*^{2 =} 2 ⁼ ~2 y⁼¹⁺^

Zatem

x¹ = 1 + V3

x = Vl + V3 lub x = -    + "^3

Czyli

A = (-ViT}3,0); P = (Vl + k3 , 0) oś OY

/(0) = -I-0⁴ + 0² +l = l

czyli

c = (0,1)

3. Parzystość i nieparzystość funkcji

Funkcja y =/(x) jest parzysta <u> A [(~x) e D_f=> f{x) =/(~x)]

Funkcjay =f(x) jest nieparzysta <=> A. [(-x) e D_f=> f(~x) = -/(*)]

Zatem sprawdzimy, czy nasza funkcja jest parzysta (wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY)

=>f(x) =f(-x)

/(*) = -^x⁴+x²+\

/(-*)=- ~ (-w+c-^)²+1 = - A+x² +1 funkcja jest parzysta

4. Granice

lim f(x) = lim

x⁴ + x² + 1

sticząc granicę w -co wyłączamy x w. nąjwięk-•szej potędze ..przed nawias- w nawiasie'.pozo-' staną funkcje, których granicę łatwo policzyć. 1

-    '“A’    Ćr, •    ^łfvA    'V ' '

- lim x⁴ (- -

.V-> - co    \    /

= lim a:⁴ - -

*-»-«>    \ Z

Czyli

lim f(x) = ~co

*->-co

Aby odnaleźć punkty Wspólne z osią 0X należy: ' obliczyć.wartość.funkcji w punkcie ZAO. ć ,, ;j

&j wOZa'A. •A"A A< *V wV/ AA^- - AAYkśr.T- ZZ * $

lim f(x) = lim (- -x⁴ + x² + 1

_x_> + «l    X-*~Ko\ l

= lim a:⁴

1

   Punkty wspólne z osiami OX, OY

oś OX