033

Badanie przebiegu zmienności funkcji

DEFINICJE, TWIERDZENIA

Zanim zaczniemy badać przebieg zmienności funkcji musimy podać kilka twierdzeń, które ułatwią nam rozwiązywanie zadań.

Wnioski z twierdzenia Lagrange’a

Jeżeli funkcja y =/(x) jest różniczkowalna w przedziale (a, b), to:

•    A f'(x) = 0 o funkcja/jest stała w przedziale (a, b)

*e (a; b)

•    A f'(x) > 0 O funkcja/jest rosnąca w przedziale (a, b)

,VG(rt; b)

•    A f'(x) < 0 <=> funkcja/jest malejąca w przedziale (a, b).

jce(o; b)

Za pomocą tych wniosków możemy zbadać monotoniczność funkcji różnicz-kowalnej w dowolnym przedziale.

ZADANIE 1_ ___

Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) - -~2x³ + 15x^J - 24x + 1

Rozwiązanie:

Zacznijmy od określenia dziedziny funkcji.

Ponieważ jest to wielomian stopnia 3 zatem dziedziną będą wszystkie liczby rzeczywiste D_f = R.

Zgodnie z powyższymi wnioskami, aby zbadać monotoniczność funkcji, należy obliczyć jej pochodną.

/'(*) = (-2x³+ 15x²-24x + 1)' = -2 • 3a-² + 15 • 2x - 24 • 1 + 0 =

= ~6x² + 30* - 24

65