094 2

094 2



186 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji

10.3.    Funkcja /(x) = |x|-2 ma dwa miejsca zerowe: x=-2 i x = 2. Czy można za stosować twierdzenie Rolle'a do tej funkcji w przedziale -2s%xs$2? Sporządzić wy]^ i wyjaśnić.

10.4.    Zastosować twierdzenie o wartości średniej do funkcji f(x) = sJx, przyjmy a= 1, b = 9 i znaleźć wartość x = c, o której mowa w twierdzeniu. Sporządzić szkic.


10.5.    Czy można zastosować twierdzenie Lagrange’a, do funkcji f(x) = l/x w przedziale — 1 <x<4? Podać interpretację geometryczną.

10.6.    Zastosować twierdzenie Lagrange'a do funkcji / (x) = x2 w przedziale a^x^b i znaleźć wartość x = c, o której mowa w twierdzeniu.

10.7.    Twierdzenie Lagrange’a może być napisane w postaci

f(x + h)—f(x) = hf'(x+6h), gdzie 0<0<1.

Zastosować tę postać do funkcji a) f(x) = x2, b) f(x) = x3 i wykazać, że w przypadku: a) 0 nie zależy ani od wartości x, ani od wartości h, b) 0 zależy zarówno od x, jak i od h.

§ 10.2. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI. EKSTREMA FUNKCJI

Badanie przebiegu zmienności funkcji opiera się na następujących twierdzeniach podstawowych (będących wnioskami z twierdzenia Lagrange’a):

(10.2.1)    Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w t)n‘ przedziale rosnąca.

(10.2.2)    Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w W1*przedziale malejąca.

(10.2.3) Jeżeli pochodna funkcji jest w każdym punkcie pewnego przedziału równa td to funkcja ma w tym przedziale wartość stałą.


Mówimy, że funkcja y=f (x) ma w punkcie x0 maksimum lokalne (minimum jeżeli istnieje takie otoczenie punktu x0, że dla wszystkich punktów tego otoczenia

chodzi nierówność

f(x) <f(x0)    (/(*)>/(*„)).

\fiksima i minima funkcji noszą wspólną nazwę ekstremów funkcji.

Wyznaczenie ekstremum funkcji (maksimum lub minimum) opiera się na następujących

twierdzeniach:

Rys. 10.3


^10 2.4) Twierdzenie Fermata. Jeżeli funkcja różniczkowalna v przedziale osiąga w pewnym punkcie wewnętrznym x=x0 tego przedziału ekstremum lokalne, to pochodna w tym punkcie f'{x„) równa się zeru.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład funkcja y=x3 ma pochodną y' = 3x2, która jest równa zeru <jia x=0; w punkcie tym funkcja nie posiada ekstremum (rys 10.3).

(10.2.5) Jeżeli pierwsza pochodna f'{x) dla x<x0 jest ujemna (dodatnia), dla x=x0 jest równa zeru, a dla x>x0 jest dodatnia {ujemna), co wyrażamy często krócej, mówiąc: pochodna przy przejściu zmiennej x przez punkt x0 zmienia znak z ujemnego na dodatni (z dodatniego na ujemny), to funkcja y=f(x) osiąga ekstremum {minimum w pierwszym, a maksimum w drugim przypadku).

§ 10.3. PUNKTY PRZEGIĘCIA

Punktem przegięcia wykresu funkcji y =/(*), gdy funkcja f{x) ma drugą pochodną C13głą, nazywamy taki jej punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony kzywej na drugą.

Na przykład początek układu współrzędnych jest punktem przegięcia krzywej y=x3; 05 Ox jest styczna do krzywej w punkcie (0, 0) i jednocześnie przecina krzywą w punkcie %zności (rys. 10.3).

Punkty przegięcia wyznaczamy za pomocą następujących twierdzeń:

M-3.1) Jeżeli funkcja y=f{x) ma drugą pochodną ciągłą, to w punktach przegięcia okresu funkcji druga pochodna f"{x) jest równa zeru.

twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład druga pochodna dla ftmkcji jest równa zeru dla x = 0, a wykres funkcji nie ma jednak punktu przegięcia (ma w tym pu«kcie minimum).

na

odnt


.t^-2) Jeżeli druga pochodna f"{x) dla x<x0 jest ujemna {dodatnia), dla x = x0 jest

zeru, a dla x>x0 jest dodatnia {ujemna), co wyrażamy krócej, mówiąc: druga po-nQ na przP przejściu przez punkt x0 zmienia znak z ujemnego na dodatni (z dodatniego uJemny), to wykres funkcji y=f{x) ma punkt przegięcia w punkcie x0.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
55330 img509 (3) c jf() I oraz, że / ( I) 2. Wynika stąd, że: ] a) funkcja / ma dwa miejsca zerowe,
095 2 188 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji § 10.4. WYPUKŁOŚĆ 1 WKLĘSŁOŚĆ FUNKCJI Niech będą d
097 2 192 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji Wykreślamy krzywą y = x3 + 3x2 —9x — 2 (rys. 10.8,
098 2 194 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji Zadanie 10.11. Zbadać przebieg zmienności funkcji
200 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji Zadanie 10.17. Zbadać przebieg zmienności funkcjiO)
102 2 202 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji Zadanie 10.19. Zbadać przebieg zmienności funkcji
115 2 228 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji (x + 2)4 mon X2 — ÓX + 13 10.79. >_(x +
Badanie przebiegu zmienności funkcjiDEFINICJE, TWIERDZENIA Zanim zaczniemy badać przebieg zmienności
035 4 Badanie przebiegu zmienności funkcji Twierdzenie: Asymptota ukośna Prosta y = ca + b je
Badanie przebiegu zmienności funkcji czyli lim f(x) = -oo Brak asymptot poziomych. Asymptota pionowa
Badanie przebiegu zmienności funkcji6-7. Monotoniczność i ekstrema funkcji 2xi - 2 sgn f (x) = sgn--
039 2 Badanie przebiegu zmienności funkcji 3. Parzystość i nieparzystość
043 5 Badanie przebiegu zmienności funkcji 2. Punkty wspólne z osiami OX, OY. oś OX Badanie przebieg
Badanie przebiegu zmienności funkcji x e (-co; -1) =>/(.x) 71 je(-];0) =>/(*)  x e (0; 1)
045 2 Badanie przebiegu zmienności funkcji Asymptota ukośna f(x) ~X^ "ł" 2 A 2 y
096 2 190 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji Krzywa jest wszędzie wypukła (bo _y">0) i
099 2 196 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji asymptotą pionową krzywej y=f(x); natomiast gdy *-
Pochodna funkcji. Badanie przebiegu zmienności funkcji. Całka nieoznaczona, całkowanie przez części

więcej podobnych podstron