186 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji
10.3. Funkcja /(x) = |x|-2 ma dwa miejsca zerowe: x=-2 i x = 2. Czy można za stosować twierdzenie Rolle'a do tej funkcji w przedziale -2s%xs$2? Sporządzić wy]^ i wyjaśnić.
10.4. Zastosować twierdzenie o wartości średniej do funkcji f(x) = sJx, przyjmy a= 1, b = 9 i znaleźć wartość x = c, o której mowa w twierdzeniu. Sporządzić szkic.
10.5. Czy można zastosować twierdzenie Lagrange’a, do funkcji f(x) = l/x w przedziale — 1 <x<4? Podać interpretację geometryczną.
10.6. Zastosować twierdzenie Lagrange'a do funkcji / (x) = x2 w przedziale a^x^b i znaleźć wartość x = c, o której mowa w twierdzeniu.
10.7. Twierdzenie Lagrange’a może być napisane w postaci
f(x + h)—f(x) = hf'(x+6h), gdzie 0<0<1.
Zastosować tę postać do funkcji a) f(x) = x2, b) f(x) = x3 i wykazać, że w przypadku: a) 0 nie zależy ani od wartości x, ani od wartości h, b) 0 zależy zarówno od x, jak i od h.
§ 10.2. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI. EKSTREMA FUNKCJI
Badanie przebiegu zmienności funkcji opiera się na następujących twierdzeniach podstawowych (będących wnioskami z twierdzenia Lagrange’a):
(10.2.1) Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w t)n‘ przedziale rosnąca.
(10.2.2) Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w W1*1 przedziale malejąca.
(10.2.3) Jeżeli pochodna funkcji jest w każdym punkcie pewnego przedziału równa td to funkcja ma w tym przedziale wartość stałą.
Mówimy, że funkcja y=f (x) ma w punkcie x0 maksimum lokalne (minimum jeżeli istnieje takie otoczenie punktu x0, że dla wszystkich punktów tego otoczenia
chodzi nierówność
f(x) <f(x0) (/(*)>/(*„)).
\fiksima i minima funkcji noszą wspólną nazwę ekstremów funkcji.
Wyznaczenie ekstremum funkcji (maksimum lub minimum) opiera się na następujących
twierdzeniach:
Rys. 10.3
^10 2.4) Twierdzenie Fermata. Jeżeli funkcja różniczkowalna v przedziale osiąga w pewnym punkcie wewnętrznym x=x0 tego przedziału ekstremum lokalne, to pochodna w tym punkcie f'{x„) równa się zeru.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład funkcja y=x3 ma pochodną y' = 3x2, która jest równa zeru <jia x=0; w punkcie tym funkcja nie posiada ekstremum (rys 10.3).
(10.2.5) Jeżeli pierwsza pochodna f'{x) dla x<x0 jest ujemna (dodatnia), dla x=x0 jest równa zeru, a dla x>x0 jest dodatnia {ujemna), co wyrażamy często krócej, mówiąc: pochodna przy przejściu zmiennej x przez punkt x0 zmienia znak z ujemnego na dodatni (z dodatniego na ujemny), to funkcja y=f(x) osiąga ekstremum {minimum w pierwszym, a maksimum w drugim przypadku).
§ 10.3. PUNKTY PRZEGIĘCIA
Punktem przegięcia wykresu funkcji y =/(*), gdy funkcja f{x) ma drugą pochodną C13głą, nazywamy taki jej punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony kzywej na drugą.
Na przykład początek układu współrzędnych jest punktem przegięcia krzywej y=x3; 05 Ox jest styczna do krzywej w punkcie (0, 0) i jednocześnie przecina krzywą w punkcie %zności (rys. 10.3).
Punkty przegięcia wyznaczamy za pomocą następujących twierdzeń:
M-3.1) Jeżeli funkcja y=f{x) ma drugą pochodną ciągłą, to w punktach przegięcia okresu funkcji druga pochodna f"{x) jest równa zeru.
twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład druga pochodna dla ftmkcji jest równa zeru dla x = 0, a wykres funkcji nie ma jednak punktu przegięcia (ma w tym pu«kcie minimum).
na
odnt
.t^-2) Jeżeli druga pochodna f"{x) dla x<x0 jest ujemna {dodatnia), dla x = x0 jest
zeru, a dla x>x0 jest dodatnia {ujemna), co wyrażamy krócej, mówiąc: druga po-nQ na przP przejściu przez punkt x0 zmienia znak z ujemnego na dodatni (z dodatniego uJemny), to wykres funkcji y=f{x) ma punkt przegięcia w punkcie x0.