3813573792

2

4 KRATY I ALGEBRY BOOLEA

4.2 Kraty rozdzielne i modularne

Definicja 4.21. Krata K jest rozdzielna, jeśli V x,y,z € K spełnione są w niej równości

(m)

(-R2)

^x(y + z) = xy + xz, x + yz = (x + y)(x + z).

Definicja 4.22. Krata K jest modularna, jeśli V x,y,z € K spełnione jest w niej prawo modulamości

(M)

(x > z) => (x(y + z) = xy + z).

Lemat 4.23. Dla każdej kraty K i V x,y,z € K, następujące warunki są równoważne:

(a) (rc > z) => (x(y + z) = xy + z),

(b) (x > z) =» (x(y + z) = xy + xz),

(c)    x(y + xz) = xy + xz.    ■

Wniosek 4.24. *** Klasa krat modularnych jest klasą definiowalną równościowo (równoważnie, jest klasą zamkniętą na podalgebry, obrazy homomorficzne i produkty) .    ■

Wniosek 4.25.    (a) Podkrata kraty modularnej (rozdzielnej) jest kratą mo

dularną (rozdzielną).

(b)    Obraz homomorficzny kraty modularnej (rozdzielnej) jest kratą modularną (rozdzielną).

(c)    Iloczyn dowolnej rodziny    krat    modularnych (rozdzielnych) jest kratą

modularną (rozdzielną).    ■

Uwagi.

(a)    Każdy łańcuch jest kratą rozdzielną.

(b)    Kraty zbiorów są rozdzielne.

(c)    Krata (N, |) jest rozdzielna.

(d)    Każda krata rozdzielna jest    modularna.    ■

Stwierdzenie 4.26. Wszystkie podgrupy normalne danej grupy tworzą kratę modularną.