490575227

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

Dla grupy G symbolami SubG i NSubG oznaczamy odpowiednio zbiór wszystkich podgrup grupy G i zbiór wszystkich podgrup normalnych grupy G. Jeśli H jest podgrupą grupy G, to Sub//G i NSub// G oznaczają odpowiednio zbiór wszystkich podgrup grupy G zawierających podgrupę H i zbiór wszystkich podgrup normalnych grupy G zawierających podgrupę H.

Twierdzenie 1.1.7. (Twierdzenie o odpowiedniości.)

Niech h : G —> G' będzie epimorfizmem grup. Wtedy przyporządkowanie

h* : SubjG^ SubG\ h*{H) = h{H)

każdej podgrupie H grupy G zawierającej jądro J = ker h jej obrazu h(H) w grupie G' jest bijekcją taką, że /i*(NSubjG) = NSub G'.

Ponadto, dla każdej podgrupy normalnej H grupy G zawierającej jądro J = ker h mamy izomorfizm

G/H 3 G'/h{H).

Dowód. Dla L £ Sub G' mamy h(h~¹(L)) = L, zatem h* jest odwzorowaniem sur-jektywnym. Dla dowodu, że h* jest odwzorowaniem injektywnym przypuśćmy, że J < H\, H₂ < G oraz h(H\) = h(H₂). Wtedy na podstawie (1.3) mamy

Hi = h-^hiHi)) = hr^hiHi)) = H₂.

A więc h* jest bijekcją.

Niech teraz J < H < G (to znaczy H £ NSubjG). Wtedy dla x £ G' oraz a £ G takiego, że h(a) = x mamy

x • h(H) ■ x~^l = h(a) • h(H) ■ /i(a^-1) = hfaHa^-1) = h(H).

Stąd wynika, że h(H) £ NSubG'. Zatem zacieśnienie h* do NSubjG jest injekcją w zbiór NSub G'. Pozostaje pokazać, że zacieśnienie to jest surjekcją. Niech więc L £ NSubG'. Dla każdego a £ G mamy

h{a • h~^l(L) • a^-1) = h(a) • L ■ h(a)~^l = L.

Zatem a-h~^x{L)-a~^l C h~^x{L). Stąd wynika już, że h~^l{L)<G i wobec h(h~^l{L)) = L odwzorowanie h* jest surjekcją.

Dla dowodu ostatniej części twierdzenia określamy odwzorowanie

h! : G G'/h(H), h'{a) = h{a)h(H).

Z łatwością stwierdzamy, że h! jest epimorfizmem grup. Ponadto, ponieważ ker h < H, na podstawie (1.3) mamy

ker h' = {a £ G : h{a) £ h(H)} = /r¹^#)) = H.

Zatem istnienie izomorfizmu G/H = G'/h(H) wynika z wniosku 1.1.5.    □

Wniosek 1.1.8. Jeśli H <\G, to homomorfizm kanoniczny k : G —> G/H indukuje bijekcję k* : Sub jjG —* Sub G/H taką, że «*(NSub#G) = NSubG///.