6404671158

6

ROZDZIAŁ 1. GRUPY I CIAŁA, LICZBY ZESPOLONE

dla dowolnych a, b E K.

W ciele możemy formalnie zdefiniować odejmowanie i dzielenie, mianowicie

a — b := a + (—b) Va, 6 G K. a/b := a*b~^l Va G K, b E K \ {0}.

Przykładem ciała są liczby rzeczywiste R z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia. Ciałem jest też zbiór liczb

{ a + bV2 : a,b E W } C R

z tymi samymi działaniami.

1.2 Ciało liczb zespolonych

Ważnym przykładem ciała jest ciało liczb zespolonych, któremu poświęcimy tą część wykładu.

1.2.1 Definicja

Definicja 1.3 Ciało liczb zespolonych to zbiór par uporządkowanych

C := R x R = { (a, b) : a, b E R }

2: działaniami dodawania i mnożenia zdefiniowanymi jako:

(a, b) + (c, d) = (a + c, 6 + d),

(a, b) * (c, d) = (a* c — b * d,a* d + b * ć),

dla dowolnych a,b,c,d E R. ¹

Formalne sprawdzenie, że C ze zdefiniowanymi działaniami jest ciałem pozostawiamy czytelnikowi. Tu zauważymy tylko, że elementem neutralnym

1

Zauważmy, że znaki dodawania i mnożenia występują tu w dwóch znaczeniach, jako działania na liczbach rzeczywistych oraz jako działania na liczbach zespolonych. Z kontekstu zawsze wiadomo w jakim znaczeniu te działania są użyte.