6404671156

4

ROZDZIAŁ 1. GRUPY I CIAŁA, LICZBY ZESPOLONE

(i)    Va, b,c £ G (a o b) o c = a o [b o c)

(łączność działania)

(ii)    3e £ G Wa £ G ao e = a = eo a (istnienie ełementu neutralnego)

(iii)    Va £ G 3a' £ G a o a' = e = a' o a (istnienie elementów przeciwnych/odwrotnych)

Jeśli ponadto

(iv) Va,b£G aob = boa

to grupę nazywamy przemienną (lub abelowąj.

Grupę będziemy oznaczać przez {G, o}.

Zauważmy, że już z aksjomatów grupy wynika, iż element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie. Rzeczywiście, załóżmy, że istnieją dwa elementy neutralne, e\ i e2. Wtedy, z warunku (ii) wynika, że e\ = e\ o c₂ = e2. Podobnie, istnieje tylko jeden element odwrotny dla każdego a £ G. Jeśli bowiem istniałyby dwa odwrotne, a'_x i a'₂, to mielibyśmy

a[ = eo a\ — {a'₂ o a) o a\ = a'₂ o (a o a[) — a'₂o e — a'₂,

przy czym skorzystaliśmy kolejno z własności (ii), (iii), (i) i ponownie (iii) i (ii).

Łatwo też pokazać, że w grupie {G, 0} równania a o x = b oraz y o c = d

dla a,b,c,d £ G mają jednoznaczne rozwiązania. W uzasadnieniu, ograniczymy się tylko do pierwszego równania. Łatwo sprawdzić, że x = a' o b jest rozwiązaniem. Z drugiej strony, jeśli x jest rozwiązaniem to a'o(aox) = a'ob, czyli x = a' o b.

Przykładami grup są:

•    {Z, +}, gdzie elementem neutralnym jest e = 0, a elementem przeciwnym do a' do a jest —a.