6404671160

ROZDZIAŁ 1. GRUPY I CIAŁA, LICZBY ZESPOLONE

otrzymujemy

2 = |z|(cos0 + zsin0).    (1.2)

Jest to właśnie postać trygonometryczna. Liczbę rzeczywistą \z\ nazywamy modułem liczby zespolonej 2, a 0 jej argumentem, 0 = arg2.

Jeśli 2 / 0 i założymy, że 0 G [0,2it) to postać trygonometryczna jest wyznaczona jednoznacznie. Piszemy wtedy 0 = Arg2.

1.2.3 Wzór de Moivre’a

Niech 2 = \z\(cos 0 + «sin0), w = |u;|(cos0 + z sin-0) będą dwoma liczbami zespolonymi. Wtedy

w* z = \w\\z\ ((cos0cos0 — sin0sin0) + z(sin0cos0 + sin0cos0))

= |u;|M (cos(0 + 0) + zsin(0 + 0)),

a stąd

\w * z\ — \w\\z\ oraz arg(w * z) = argw + arg2.

Właśnie w tych równościach przejawia się wygoda postaci trygonometrycznej. W szczególności mamy bowiem z² = |2|²(cos20 + zsin 20) i postępując dalej indukcyjnie otrzymujemy wzór de Moivre’a. Mianowicie, dla dowolnej liczby zespolonej 2 w postaci trygonometrycznej (1.2) mamy

z¹¹ = |2|ⁿ(cos(n0) + zsin(rz0)), n = 0,1,2,...    (1.3)

Łatwo zauważyć, że wzór (1.3) jest prawdziwy również dla n = — 1, a stąd dla wszystkich całkowitych n. Przyjmując za z¹'ⁿ szczególne rozwiązanie równania wⁿ = 2, mianowicie

2^1/n = 121¹^ⁿ (cos(0/n) + zsin(0/n)),

gdzie 0 = Arg2, uogólniamy (1.3) dla wszystkich wykładników wymiernych. Stosując dalej argument z przejściem granicznym (każda liczba rzeczywista jest granicą ciągu liczb wymiernych) otrzymujemy w końcu następujący uogólniony wzór de Moivre’a:

Va € R z^a = \z\^a (cos(a0) + zsin(a0)).

Prostym wnioskiem z ostatniego wzoru jest równanie