liczby Z
7

2. Liczby zespolone

34

Dodaj,c lub odejmując stronami równości (2.39) i (2.40), otrzymujemy

gj^z ą. — 2 cos z i e^jz - e~^]Z = 2j sin 2.

7atem miedzy funkcją wykładniczą e* oraz funkcjami trygonometrycznymi cos z i^amSi Wolonej . chodzą następujące zw,ązk,. zwane wzorom, Eu-

lera.

Twierdzenie 2.5.1. Dla każdej liczby zespolonej z jest

(2.41)

e^jz = cos z + j sin z,

Wzory Eulera

oraz

e^jz 4- e~^jz

cos z =-^- ¹

~ e~’^z smz = -2j-'

(2.42)

Przykład 37. Z (2.41) mamy = cos7r+j sinit = -l + j-0 = -1, więc także

e** + 1 = 0.

Ostatnia równość jest związkiem pomiędzy podstawowymi stałymi matematycznymi (0, 1, 7r, e oraz j). Przez studentów amerykańskich zależność ta została uznana za najpiękniejszy wzór matematyki.

e^x*^iy =e^x (cos y + j siny)

e¹*e²² = e^2,+Z2    — - _e*i-z2

e^z2

i (e^z)ⁿ = e"¹.

wykładniczej    ²'^ę’ ^ ^{llorayn eI}(c°sy + j sin y) jest definicją funkcji

1

Z powyższych definicji i ze wzoru Eulera można otrzymać następujące wła

2

(а)    e^z = e^x+i^y = e^xe^iy = e^z(cos y + j sin y);