DSC07303

28

Liczby zespolone

{

r € (0, oo)«

J + Ar = 0.1,2,3.

RoniąinniA równania i worzą więc dwie proste nachylone do osi rzeczywistej pod kątami j oraz — — i przechodzące przez punkt O, nie bez tego punktu (rysunek).

Przykład 1.16

Stosując wzory Eulera przedstawić cos⁵ x w postaci sumy sinusów i eosinusów wiełokrotności kąta x.

Rozwiązanie

Miar cos x =

. Stosując teraz wzór dwumianowy Newtona otrzymamy

= Ą [(o) (*“)^s («-^te)° + (i) (*")⁴    + (*) (^cix)³ («•")’

+(3) (=^fe)² («*")' + (4) (O¹ ('-“)* + © (^)° (^c_,x)⁵]

= ^ (e⁵** + 5e^3ix +- I0e** + 10e~^,x + 5e"^,te + c~^5,x)

2    2    2 y

= -^(eos5x + 5eos3x + 10 cos x).

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Przykład 1.17

Korzystając z definicji obliczyć podane pierwiastki:

a) V4i - 3; b)

Przykłady

29

Rozwiązanie

a)    Niech x+iy* gdzie z, y € R, będzie szukanym pierwiastkiem. Wtedy (x+śy)² = 4i -3. Stąd x⁷ -ł- 2ixy — y¹ = 4£ - 3. Równanie to jest równoważne układowi równań

IBG | "3.

-^2xy    = 4.

Rozwiązaniem tego układu równań są pary liczb: z = 1, y = 2; x = -1, y = -2. Zatem V3r^3 = {l + 2i,-i-2ś}.

b)    Niech z + iy, gdzie x,y € R, będzie szukanym pierwiastkiem. Wtedy (z + iy)³ = 8. Stąd z³ -I- 3ix¹y — 3xy — iy³ — 8. Równanie to jest równoważne układowi równań

I z³ - 3xy² = 8,

13x²y - g? = 0.

Z drugiego równania tego układu wynika, że y = 0 lub 3x² = y². Wykorzystując te zależności w pierwszym równaniu układu otrzymamy z³ = 8 łub -8x³ = 8. Stąd z = 2 lub z = - i. Ostatecznie rozwiązaniem układu równań są pary liczb: z = 2, y = 0; X = -1, y = v/3; z = -1, y = — v/3- Zatem ^8 = {?, -1 + iy/5, -1 - iV3} .

• Przykład 1.18

Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej podane pierwiastki: a) sf^Tiy b) \J-8 4- 8^*; c) #T.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy wzór na pierwiastki stopnia n z liczby zespolonej :^0o argumencie ip. Wzór ten ma postać: yz — {^>,ei,...₍Zn~i} . gdzie

**= v^i(<

ip + 2kir . . ip + 2kx

cos --+ » sin

a) Dla z = —2« mamy |s| = 2 oraz argz = y. Zatem

dln fc = 0,1.....n— 1.

2i =

Dla k = 0 mamy

w

^+2far J + 2fcr cos-- — *f i sin---

: A: = 0,1 > .

1 + t.

so = (cos2Ę +fsin^-) - '^/5(^wT ^{+ i}T) ““

Dla 1* = 1 otrzymujemy

ti = y/2 (cos y +isin y) =    ~*t) ^{= 1}"^?*

Zatem = {-1 + i, 1 - i) .