DSC07305

32

Liczby zespolone

**“*{“?^+isi“¥)=“ (^_5 ⁺ ^r*) ⁼-'^/5~^x*

=*=*(“■? ^+,“^,ę) ^{= 2ł}('i~ ^‘) =

c) Zauważmy. ar jednym * elementów zbioru    jest liczba

^: = _-'-•= -# ⁺ⁱ“(-?))]^,=8(“•(-?) ^+isi„(-?))*-“■ Pc*ae*6e eienaemy leę> zbioru wyrażają się wzorem

i* = Ai fcoi ^ -r isn^^ , gdzie A: = 1. 2,3.

ZsfiBB

si = —8k ^cos j + isa    = —fii - i = 8,

si = -8i(coiT+ i sin jt) = —8i - (—1) = 8i\

=* = -& (o*^ k ^ssin = -& (-») =-8-

• Przykład L20

Jednymi wierzchołków trójkąta równobocznego jest ptmkt zo = I+2i. Wyznaczyć pnwk wimchoBp tego trójkąta, jeżeli jego środkiem jest:

a)    porrątHr Aiadn współrzędnych;

b)    pnnkt »=§-L a) W ir—iłijam wykorzystamy fakt mówiący, źe zbiór pierwiastków stopnia n ^ 3 z Soły wjpokzuj s = 0 pokrywa się z wierzchołkami pewnego o-kala foremnego wpisa-aesi w okrąg o smrflm w początku (A ładu i promieniu r = ^/{sf- Zatem znalezienie wKnchoflhów st. si trójkąta równobocznego rozwianego w zadaniu, sprowadza się do wyaoscaenm zbioru pierwiastków stopnia 3 z pewnej liczby zespolonej, gdy znana jest wwsiowć jrdnrp. z tyeh pierwiastków, tzn. zo = l +2i Mamy

dla k = 1,2.

/ 2kx . . 2fcr\ s* = p>(cos—+ssin—j

Zatem

^ = M.^[«.f_+ł-,ę)=₍i_+2i)(-ł₊^₌(_|_v3)₊(^-i

„ = (1 ^ Ą (c- ę ^ , -n ę) = (l ₊ 20 (- 5 -    i + ^3) + ^ - l) i.

b) Pmmswsmy oba pemkzy tak. aby środek trójkąta znalazł się w początku układu w^ółnędar*. Wierzchołek zo znajdzie się wówczas w punkcie só = so - u = — 5 ł* 3i.

Przykłady

33

Pozostałe wierzchołki przesuniętego trójkąta można otrzymać teraz w taki sam sposób jak to pokazano w przykładzie a), tzn. z zależności:

'    , c . ,5    3i/3    3 5y/Ź

=^l = C-5 + 3i)^-_5+T,j = ₅- — ~_r~— *.

-    , .    l V5.\    5    3i/3    3. Sy/3.

^ = (-5 + 30    +—u

Wracamy do położenia początkowego i znajdujemy wierzchołki naszego trójkąta ze naw:

17    3\/3    5 . Sy/3 .    ' :    17    3^3    5.    W5-,

_Xl = =!+* = y---- ^--_rt, .1 g^gjgg + — ~ 5*+ -5-*-

• Przykład 1.21

Znaleźć rozwiązania podanych równań:

a) ;^s = (2 + 40^a;    b) (z -if = (: + i)⁴; c) z³ + 3s² + 3z = i -1.

Rozwiązanie

a)    Zauważmy, że rozwiązanie równania -^S = (2+4x)' sprowadza się do znalezienia zbioru pierwiastków 6-tego stopnia z liczby (2 + 4x)⁶. Jednym z elementów tego zbioru jest oczywiście Eczba sc = 2 +■ AL Pozostałe elementy tego zbioru wyrażają się wzorem:

Ą = 10 (cos ^ + isin . gdne 1 $ k $ 5.

Zatem

21    = (2-Mi) (cos|+isin^) =(2 + 4i)    -t- -y^ = 1-2>/3+(2+V^3)t,

22 = (2 + 4i) (cos^ +isin^) = (2 + 4x)= -1 -2v'3+ (-2+>/5) «, z j = (2 -f 4x) (cos » + * sin jt)= (2 + 4x) (—1) = —2 — 4x\

= (2 + «) (cosę + isinę): = C2 + 4«> (-1 - &i\ = -l + 2^3- (2 + v^)«, _i3 = (2 + 4j) (cos ę + i sin §| = (2 + 4i) |j-= l + 2^3 + (2 - i.

b)    Oczywiście 2 ^ -i. Zatem nasze równanie ma równoważną postać    = ¹-

która jest z kolei równoważna alternatyw* równań

r-i

—r-r = «*• s+i

gdzie 0 £ * € 3 oraz {u/o.un.utt.u*} = v^T- Ponieważ = {l.-l.Uzatem równania te przyjmują postać 2 - i = z + • lub 2 - * = —(z + i) lub 2 - i = 1(2 -f 1) lub . _ , _ _ _{x l} - + i. Pierwsze z tych równań jest sprzeczne, a pozostałe mają odpowiednio