liczby zespolone 4

12

3. Z\Z₂Z3 — Z\Ź₂Ż₂

₅{^)=*    O

\z₂) Z2

7. |ż”| = Mⁿ, n = 1,2, 9.

x 4. z⁴ = (z)⁴

Zo

= N,

(—)

\Z2Z3J

11. Ziż₂ + Z1-Z2 J^est *■ rzeczywistą 13. |zi + z₂| < \zi\ + \z₂\

15. Re(iz) = —Im(z)

- zr~ gdy z₂z₃ / O

Z₂Z₃

8. \z\ — O

Z\

10.

z₂z₃

=> z = O |zi|

IZ₂ 11Z₃1

gdy z₂z₃ # O

* 12- |zi - z₂| < |zi| + |z₂|

17. zz = \z\²

19. Arg(ziz₂) = Arg(zO + Arg(z₂)

f 14. |zi — z₂| > |zi | — |z₂|

z + z _    . . z — ź

16. Re(z) = —; Im(z) = -^r-

18. Arg (= — Arg(z), z ^ O

20. Arg(zz) = O

21.    Arg(ziz₂) = Arg(zi) - Arg(z₂)

22.    Arg (j^j = Arg(zi) - Arg(z₂), z₂ # O

*) 23. |zi + z₂|² + |zi — z₂|² = 2(|zj|² + |z₂|²) o 24. |zi + z-₂|² = |zi|² + |z₂|² + 2Re(z!Ź₂)

25.    Re(ziz₂) = Re(zj)Re(z₂) + Im(zi)Im(z₂)

26.    Im(ziz₂) = Re(zj)Im(z₂) + Im(z₂)Re(z₂)

5. Wyrazić cos 2(p i sin2<p za pomocą sin (pi cos <p

Niech z = cos <p + i sin <p. Korzystając ze wzoru Moivre’a mamy z² = (cos <p + 2 sin<p)² = cos2ip + i sin 2<p. Podnosząc z do potęgi drugiej, mamy również:

z² = (cos <p + i sin <p)² = cos² <p + 2i sin <p cos <p — sin² <p,

a więc

cos 2<p + i sin 2(p = cos² <p + 2i sin <p cos (p — sin² <p.

Stąd

cos 2<p = cos² ip — sin² (p,

sin 2<p = 2 sin <p cos ip.

6. Obliczyć s/27i

Niech z — 27i. Łatwo zauważyć, że

|z| = 27, oraz cosy^O, sinę?=l, a więc ip = f jest argumentem liczby z. Zgodnie ze wzorem (1.1) mamy

Wic = 3 ( cos

f + 2Anr

+1 sm —

f + 2kn

3    3

Stąd szukanymi pierwiastkami są liczby:

3,

, k = 0,1,2.

w₀

= 3 (cos^ + isin^) = -(a/3 + i),

j + 2tt . .    £ + 27r \    3

Wi = 3 cos —— --1- i sm

, f + 4w . . f + 4w\

W2 — 3 1 cos ---h ł sm ■^£—— | = —3*.

Wyznaczyć pierwiastki równania: 7. z² + 2z + (1 - i) = 0

Równanie z² + bz + c = 0 ma dwa pierwiastki dane wzorami:

—b + Vb² - 4c    -b - Vb² — 4c

.i =-2-’ "^{2 =}-2-'

W naszym zadaniu 6 = 2, c = 1 - i, wiec pierwiastkami są liczby:

y/2,

zi = — 1 + VI = -1 4- —(1 + i), z₂ = — 1 — Vi = — 1

V2

(! + <)■

Przedstawić w postaci algebraicznej liczby zespolone:

1. e*’

3. —2e«

2. 4e^-"’

4. 6e²’^r'e’”