liczby Z
0

.) j pnstać trygonometryczna liczby zespolonej

Obie te obserwacje pozwalają uzasadnić poprawność naszkicowanej na rys. 2.11 geometrycznej konstrukcji iloczynu zw liczb zespolonych z i w. Łatwo także zaobserwować, ze dla argumentu odwrotności liczby i ilorazu liczb zespolonych

marny    {1\

- arg (z) = arg (- J i arg (z) - arg (w) = arg (^-) .    (2.23)

Zatem mamy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.3.1. Jeśli z = |z|(cosa + .jsin a) i w = |to|(cos/3 + jsin/3), to

zw = \z\\w\(cos(a + 0) + j sin(a + /?))    (2.24)

27

z

w

= J^J ( ^cos(^a -P)+j sin(a - /?)),

gdy w ź □

(2.25)

Rys. 2.11

Przykład 24. Liczby z — \/3 + j oraz w = 1 + j przedstawić w postaci trygonometrycznej. Następnie znaleźć postać trygonometryczną każdej z liczb zw i z/w.

y/3    1

Ponieważ |z\ = 2, cosa = -5- i sina = 5, więc o = f i z = 2(cosf+jsin f). Podobnie M = y/2, cos(3 = ^5 i sin0 = więc /? = J i = v/2(cos f + jsinf). Zatem

ZW

= 2^ (cos (I + §) + jsin (jej))    2,2 (cos § + jsin fj

Ś - jź (^COS (i " i) ^{+J Sin} (i ~ i)) = v^2 (cos (_t|) + jsin (-1)) .

Przy obliczaniu potęg liczb zespolonych można posłużyć się tzw. wzorem de Moivre’a. Wzór ten jest prostą konsekwencją twierdzenia 2.3.1.

Wniosek 2.3.1. Jeśli z = |z|(cosa + j sina) i n jest liczbą całkowitą, to

z^u = |2|ⁿ(cosna+ j sin na),    (2.26)

gdzie z ^ 0 dla n < 0. □

Wniosek 2.3.2. Dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby całkowitej n jest

Wzór de Moivre'a

(cos a + j sin a)ⁿ = cos na + j sin na. □

(2.27)

Przykład 25. Obliczyć

/	' 1 .v/3V^7
^%=(	~2^+J 2 j	i ^2
	. 17
	j = (cos §7T + j	sin §7r)
Z\ = cos ^	7r + jsin = ^cos (10^
= COS |7T 4- j sin |7T = — ^		-7^ J 2

1 + jy/3

1 ~3

12

Ponieważ 1 j\/3 = 2(cos § + jsin f) i 1 - j = \/2(cos(-f) + jsin(-f)), więc ¹ twierdzenia 2.3.1 otrzymujemy