Liczby zespolone2(praca domowa)

LICZBY ZESPOLONE 2.

1.    Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone:

a) -i    b) 5    c) -2+2i

d) ) +73 - i    e) -3-3i    f) ) +72 - Si

2.    Korzystając z postaci trygonometrycznej, obliczyć

a) (l + /)ⁿ    b) (1 + V3/)¹⁶

C) (3 + Srf (—y — y z’)⁹

, (1 + V30¹³/^{17 e)}

(-1 + 0

(2 + 2/)

Odpowiedzi

1. a) cos\n + /sin-|n b) 5(cos0 + /sin0)

c)    2^2( cos ^ 7r + i sin ^7r)

d)    2(cosy-;r +/siny#)

e)    3-^2(cos-|;r + z'sin-|/r)

f)    2t]2( cos -|/r + i sin |tt)

f) (4 - 3/') ⁷

3. Obliczyć pierwiastki zespolone

a) V- 216    b) SSi c) 4

d) a/— 1 — /    e) Vz'V3 — 1

2. a)-32 + 32/ c) 54(1 + /)

e) 4z    f)

b) 2^l5(-l - V3ż)

d) T^O + O

2⁶V2

(cos 169° + z'sinl69°)

4. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory spełniające następujące warunki:

a) - y < arg z < j n b) arg z = y n

c)    0 < arg z < k oraz 0 < |z -1| < 2

d)    -    < arg z < 4- _n oraz re z <3

^e)    argf = S f) -^/r < arg(z²) < |/r

g) arg(z -1) = a    h) arg|y = y

5. Oblicz lim z_n, gdzie

^a)^z»=²-7T&''    b)r„=2 + i + (-l)"i

c) z„ = (i)” e) z, =    K+

d) Z„ -

n+2\n , 2n²-3 f) z =

n+1

_ 1+/3” ~ ¹ 3 ⁿ-i

6. Określ zbieżność szeregu liczbowego

^a>    b)

(_n^;7+_L/    • l~

^{K }}    2n    V sin^y^

«>r

n=l i(l+«²)

«=1

n=1

«=1

n=1

7. Określić promień zbieżności szeregu potęgowego

oo    oo    oo

a) 2(1 + 20”2"    b)2«"2”    C)2i2”

n=1

«=1

d)IO-i)”2”    e)2^T2”

«=1

3.    a) 3 + 3+73/, -6, 3-3+73i

b)    2(cos^;r + /sin4^-), 2(cos|;r+ żsin|;r) 2(cos f /r + i sin f ;r), 2(cos y n + i sin ^ n)

c)    2, - 2, -1+73/, -1 - Si, 1 + Si, 1 - Si

d)    ^|(l + z), V2(cos~^ + /' sin ~ zz) S(cos~7u + /' sin—7r),

S(cos^n + isin^jir)

S(cos~7r + / sin—zr)

S(cos~ n + z sin —■ n)

e)    ^(\-iS), -&(l-iS)

4.    e) arg z = ^ 7r

f)    - j n < arg z < j n lub zr < arg z < | tt

g)    y = O -1 )tga

h )x²+(y--L)²=j

5.    a) 2-5i = (2,-5) b) nie istnieje

c) 0 = (0,0)    d) -3 + /= (-3,1)

e) 2 + ie² = (2,e²) f) \ = (f 0)

6. a), c), e)    zbieżny bezwzględnie

b), f)    zbieżny warunkowo

d) rozbieżny

a) R =    b) i? = 0 c) i? = oo

d) 7? = e e) R = S