115 4

Temat 14: „Ciało liczb zespolonych. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej, postać trygonometryczna liczby zespolonej, twierdzenia o mnożeniu, dzieleniu, potęgowaniu i pierwiastkowaniu liczb zespolonych, pierwiastki pierwotne z jedności."

Nota historyczna

Za jednego z ojców liczb zespolonych można uważać włoskiego matematyka Girolamo Cardano (wydał on zasadniczą swoją pracę z matematyki, zatytułowaną "Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus". Po raz pierwszy używa w nim Cardano pojęcia liczby urojonej w celu rozwiązywania prostych zagadnień algebraicznych, zamieszcza rozwiązania równania sześciennego Tartaglii, podaje metodę sprowadzania równania stopnia czwartego do równania sześciennego). Cardano w swoim dziele „Ars Magna" („Wielka sztuka") rozważał następujący problem: „Gdybym kazał Tobie wziąć liczbę 10 i podzielić ją na dwie części tak, aby pomnożone przez siebie dały 40, to zapewne odpowiesz- niemożliwe". Jednak my rozwiążemy je dla Ciebie.

[a + b = 10 =>b = 10-a l a • b = 40 10a - a² = 40 a^: - lOa + 40 = 0 ń = 100 - 160 = -60 VA = 2\/-15

“2 =

10 + 2V-15    ,-

-_i-= 5 + V—15

= 5 — V—15

Rewolucji dokonał Rafael Bombelli (włoski matematyk i inżynier; Jego najbardziej znaną pracą jest Algebra (1572), w której omawia właściwości liczb zespolonych i ich zastosowanie przy rozwiązywaniu równań trzeciego stopnia. Interpretował liczby jako długość odcinków, otrzymując w ten sposób pierwszą geometryczną definicję zbioru liczb rzeczywistych). Nie przejmował się tym, że matćhiatycy nie uznawali pierwiastków z liczb ujemnych, po prostu je stosował i nazywał liczbą wyimaginowaną (urojoną).

Z czasem V—1 zaczęto oznaczać liczbą i, przyjmując i² = —1. Zwyczaj ten rozpropagował Euler, ponieważ równanie yfa -yfb = yfab prawdziwe dla dodatnich liczb rzeczywistych, wygląda następująco: -yf—1 ■ V~1 = —1, gdyż • y/i* =    = i² = —1.

Termin liczb urojonych wprowadził Kartezjusz dla podkreślenia ich „rzeczywistości". Liczby zespolone zaakceptowano dopiero po powstaniu ich interpretacji geometrycznej.

Ciało liczb zespolonych - określenie liczb zespolonych Wiadomo z geometrii, że po ustaleniu na linii prostej współrzędnych (tj. określeniu początku układu współrzędnych i odcinka jednostkowego) zbiór jej punktów może być utożsamiony ze zbiorem liczb rzeczywistych. Ciało liczb rzeczywistych może być więc