liczby zespolone 4

12

3. 2l~2^z3 — ZIZ2Z3

5.

£1 Z₂ ’

4. z⁴ = (ź)⁴ Z\

7. |*"| = \z\", n = 1, 2, • • •

r-r- gdy z₂z₃ # O z₂z₃

6.

Z₂

8. |z[ — O

z 1

10.

Z2Z3

=>■ z = O

|zil

|z₂||z₃|

gdy z₂z₃ # O

* 12. |zi - z₂| < |zi| + |z₂1 <* 14. |z_x - z₂| > |zi| - |z₂1

11. ZiZ₂ + zjz₂ jest 1. rzeczywistą 13. |zi + z₂| < |zr| + |z₂|

15. Re(iz) = —Im(z)

17. zż = |z|²

19. Arg(ziz₂) = Arg(zO + Arg(z₂)

„ „ _ . . z + ź . . z — ź 16. Re(z) =    2 : W*) = -j—

18. Arg Q j = —Arg(z), z ^ O

20. Arg(zź) = O

21.    Arg(zjź₂) = Arg(zi) - Arg(z₂)

22.    Arg = Arg(zi) - Arg(z₂), z₂ £ O

o 23. |z₁+z₂|² + |z₁-z₂r² = 2(|z₁|² ₊ |z₂|²) d 24. |zj + z₂|² = \z\ |² + |z₂|² + 2Re(ziź₂)

25.    Re(z!z₂) = Re(z!)Re(z₂) + Iin(zi)Im(z₂)

26.    Im(ziz₂) = Re(zi)Im(z₂) + Im(z₂)Re(z₂)

5. Wyrazić cos 27) i sin2</? za pomocą sin p i cos p

Niech z = cos p + i sin tp. Korzystając ze wzoru Moivre’a mamy z² — (cos p + i sini/?)² = cos2tp + i sin 2tp. Podnosząc z do potęgi drugiej, mamy również:

z² = (cos ip + i sin </?)² = cos² p + 2i sin p cos p — sin² p,

a więc

cos 2p + i sin 2p = cos² p + 2i sin p cos p — sin² p.

Stąd

cos 2p — cos² p — sin² p, sin 2</? = 2 sin </? cos p.

6. Obliczyć S/27i

Niech z — 27i. Łatwo zauważyć, że

|z| = 27, oraz cos</5 = 0, siny> = l, a więc <p = f jest argumentem liczby z. Zgodnie ze wzorem (1.1) mamy

£ +2for 3 ^+isin^~

Stąd szukanymi pierwiastkami są liczby:

3,

u>k = 3 ( cos

f + 2kix

, k = 0,1,2.

w₀

= 3 (cos^ + ^isin^) = — ("n/3 + t),

w\ — 3 ( cos

U>2 = 3 ( cos

£ +4tt

+ i sin -

£+4tt

) = |(-V3+i), j = —3i.

Wyznaczyć pierwiastki równania: 7. z² + 2z + (1 - i) - 0

Równanie z² + bz + c = 0 ma dwa pierwiastki dane wzorami:

-b+Vb² - 4c

Z-2 =

-ó- x/6² - 4c

2 2 W naszym zadaniu b — 2, c = 1 — i, wiec pierwiastkami są liczby:

Zi = — 1 + yfi = — 1 + ^-'(1 + i), Z2 = — 1 — \Ti — — 1 — -r-(l + i)-

Przedstawić w postaci algebraicznej liczby zespolone:

1. e* *    2. 4e~*’

3. -2e«^,rf    4. 6e^’”e’^T’