4493

12

Liczby zespolone

" •ł'^ wiofdfA josł jrtlną t liczb trupolonych spełniających warunek i* ^ « li* —4ac. OU rdwnuM kwadratowego *^ł - t + 1 ■ 0 iii inny ^ =* —3 = (v'5V)" - Zatem

>i

1 - \/3i    I + v/3.

2-* "" -2-'

II sposób. Wyrażenie r* - r + 1 przekształcamy do |»o>t.ici kanonicznej, a następnie zapisujemy jako różnicę kwadratów otrzymując

0.

II - (- })’*! - (- - !)'-(#■)' - (- i i #<) (~ ł - H

sm    x, -

(I) Niech z = z + i>, gdzie x, y 6 ił. Wtedy dla T ?£ I rn.-imy

= — I <=> « + l » -T + I <==> (r+ l) + iy * (—* + I) + *J»-

Porównując części rzeczywiste i urojono obu stron tego równania, otrzymamy układ równań

f * + i - -* +1,

\ v = y-

Kozwiąsanicm tego układu równań są pary z = 0, y € 71. Zatem rozwiązaniem równania y — j = — 1 «ą liczby zespolone postaci z = iy, gdzie y <= R. Oczywiście liczby te spełniają warunek Yył).

•) W rozwiązaniu wykorzystamy wzór

(a + 6)⁴ s= a* + 4a³6 + 6a²6² + 4a&³ + 6⁴,

gdzie o.k € C. Równanie z* — tir³ — 6x² + tix+ 1=0 jest zatem równoważne równaniu («z + 1)* * 0. Stąd i«+lai 0, czyli z = i. f) Niech z = r + iy, gdzie *,y € ił- Wtedy

(z + X) + i (z - z) = [(x + iy) + (* - »v)J + i [(* + iy) - (r - •'*))

= 2* -f i • 2iy = 2(r - y).

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania (z + J) + i(x - 7) = 2* - 6. otrzymamy okład równań

/ 2(z - y) = -6,

1 0=2.

Jest to okład sprzeczny, zatem rozważane równanie nie ma rozwiązań, g) Przekształcamy rozważane równanie do postaci

(i - 3 + l)i = 5 + «.

Stąd wynika, że

z

5 + i

-2 + i

(S + »)(—2 - i)

(-2 + «)(-2 - i)

Pierwszy tydzień - przykłady

13

_tf. 2*.    5

h) Dla * / -§• orna * / --i rozważane równanie je*t równoważne równania (1 - 3i)(5 - 2iz) = (3* + 2i)(2i - 3).

Stąd wynika, żo

5 - 2i* — 15i - 6z = 6ix - 9* — 4 — 6i,

a więc Zatem

z(-2(- 6 -6i + 9) « (-5 + I5i-A-6i);

. « ~^9+9>‘ .    + >0(3 + 80    -99 - 43» _ 99    45 .

3-8i    (3 — 8i)(3 + 8i)    73    ~ 73 “ 73¹*

• Przykład 1.4

Zbadać, dla jakich wartości parametrów rzeczywistych a, 6 równanie 3z-2z = a+tó ma rozwiązanie.

Rozwiązanie

Niech i = i + iy, gdzie x,y € R, będzie rozwiązaniem rozważanego równania. Wówczas 31 — 2* = a + fci <=> 3(x — iy) — 2(x + iy) = a + bi <=> z — i(5y) = a + 6i. Równanie to jest równoważne układowi równań

Układ ten ma rozwiązanie dla dowolnych wartości parametrów a.b € JL • Przykład l.S

Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających podane warunki:

a) Im ((1 + 2i)2 - 30 < 0; b) Re(* - i)² £ 0; c) z² = 2 Re(iz);    d) Re (z³) ^ Im (z³) -

Rozwiązanie

a) Niech z = z + iy, gdzie z,y € R, będzie dowolną Babą zespoloną- Wówczas

Im {(I + 2«> - 3Ś] < 0 <=> Im ((1 + 2i)(z + iy) -3i] < 0

Im ((z - 2f) + (2* + » - 3)i] < 0 <=> 2x + y — 3 < 0 <=> y < —2z + 3.

Poszukiwany zbiór jest półpłaszayzną otwartą, be* prostej y = -2r+3 (zobacz rysunek).