DSC07295

12

Liczby zespolone

W tych wzorach S jest jedną z liczb zespolonych spełniających warunek d³ = A = Ir³—dac. Dla równania kwadratowego a* — s +1 =0 mamy A = —3 = (v/3i) . Zatem

l-t/Sł 1+V®I

*. = —5—. « = —2—•

II sposób. Wyrażenie z³ - z + I przekształcamy do postaci kanonicznej, a następnie zapisujemy jako różnicę kwadratów otrzymując

d) Niech 1 = z + iy, gdzie x,y € R- Wtedy dla I / 1 mamy

= -1 <=> z +1 = —* + 1 <=> (z + 1) + iy = (—z + 1) -I- iy.

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron tego równania, otrzymamy układ równać    - '©*r-.

fz + 1 | -*+l,

I V #:»•

Rozwiązaniem tego ułdadu równań są pary x = 0, y 6 R. Zatem rozwiązaniem równania = -1 są liczby zespolone postaci z = iy, gdzie y 6 R. Oczywiście liczby te spełniają warunek 1 \A fi

•) Niech z = z + iy, gdzie z,y € R. Wtedy

(z + Zj+i (z - 2) = ((z + iy) + (z - iy)|+i [(z + iy) - (z - iy)) = 2z+i-2iy = 2(z- y).

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania (z + z) -I-1 (z — z) = 2t — 6, otrzymamy układ równań

f2(z-y) = -8,

\ 0= 2.

Jest to układ sprzeczny, zatem rozważane równanie nie ma rozwiązań, f) Przekształcamy rozważane równanie do postaci

(i-3+l)z=5 + i.

Stad wynika, że

5 4-i ₌ (5 + i)(-2-»)    —0 — 7t -2 + i ⁼ (-2 + i)(—2 - i) 5

6

g) Dl* 1 i - -i oraz z / - -i rozważane równanie jest równoważne równaniu (1 - 3i)(5 - 2łz) = (3z + 2Q(2< - 3).

Przykłady

13

■15.

73¹'

Starł wynika, że a wi ęc

5 - 2f*— I5f - 6z = 6ii - Oz -.( - Oi,

—(—2f - 6 - 6i + 9) = (-5 + IM - 4 - fii).

Zatem

—9 + 9i _ (—9 + 9f)(3 + 8r)    -0D-45£    00

3 — Si (3-8i)(3 + 8i)    73    “ 73

h*) W rozwiązaniu wykorzystamy wzór

(a -I- b)* = a* + 4a³6 + 8a²6² + 4aó³ + 6\

gdzie a.beC. Równanie z⁴ — 4iz³ - 6z² -Mis + 1 = 0 jest zatem równoważne równaniu (iz + l)⁴ = 0. Stąd >i+l=0, czyli z = i.

• Przykład 1.4

Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających podane warunki:

a) Tm [(1 -Ir 2i) z — 3i| < 0; b) Re (z — i)² > 0; c) z² = 2Re (iz);    d) Re (z³) > Im (z³).

Rozwiązanie

a) Niech z = x + iy, gdzie z, y £ R, będzie dowolną liczbą zespoloną. Wówczas

Im [(I + 2i)z - 3i| < 0 <=> Im [(1 + 2i)(z + iy) - 3i) < 0

<=> Im [(x - 2y) + (2x + y-3)i| < 0 <=> 2* +1 - 3 < 0 <=* y < -2*+ 3.

Poszukiwany zbiór jest pólplaszczyzną otwartą, bez prostej y = -2x+3 (zobacz rysunek).

b) Niech z = i + iy, gdzie x,y € R, będzie dowolną liczbą zespoloną Wówczas Re (z — i)² J 0 <=> Re [(i + iy — i)²] $ 0 <=> Re (i + i(y -1)|² 5 0

<=> Rc {a² - (y — l)² + 2x(y — l)i] > 0«=>z² - (y - I)² ? 0 <=> x² 5 (y - l)² «=» |x| ? |y -1|.

Poszukiwany zbiór jest sumą dwóch obszarów kątowych ograniczonych prostymi y = l-z, y = I + x, łącznie z tymi prostymi (zobacz rysunek).