8592539747

7

Funkcje zespolone.

Definicja 1.12. Postać wykładniczna liczby zespolonej z = x + iy =

r(cos<p + i sin <p):

z = re^lip.

gdzie r jest modułem liczby z, zaś ip jest jej argumentem.

Postać wykładnicza liczby zespolonej umożliwia prosty zapis wcześniej podanych wzorów:

Z1Z2 = r\r2e^t^^Pl+tp2\

£l —    l-¥>2)

Z2 r₂

_zn _{= r}njn<p_?

2 = re~^ilp

^_k=<fie«^sra^\ fc = 0,1,2,... ,n — 1.

Przykład 1.13.

e^1-* = ee^-* = e(cos(—1) + i sin(—1)) = e(cos 1 — i sin 1).

v/2e“^

Przykład 1.14. Dla z\ = 1 + i = \/2e*4 oraz 22 = 1 — < otrzymujemy:

2j2₂ = v^/2V2eⁱ⁽^⁺⁽"^⁾⁾ = 2e° = 2,

— =    = e*f = *

22 V2

2⁴ = (\/2)⁴e⁴ⁱ* = 2e^i,r = -2,

2₂ = y/2e~*(~^ = \/2e*^ = 1 + i = 21.

□