0147

149

§ 1. Długość krzywej

Pokażemy teraz, jak z definicji (6) lub — co wychodzi na to samo — z (6*) wyprowadzić bezpośrednio wyrażenie (4) dla długości S krzywej. Wyjdziemy ze znanego nam już wyrażenia dla długości p łamanej wpisanej w krzywą [patrz 248 (7)]:

W—1

£Viy<T.)]²+iy(T?)]²    ,

P

gdzie T_it r* są to pewne wartości zmiennej t z przedziału <t,, /,+,).

Jeśli w drugim składniku pod znakiem pierwiastka zastąpimy r* przez r,, to otrzymamy wyrażenie

o =    +    At,

0

które oczywiście jest sumą całkową dla całki (4). Wspomniana całka (’) jest więc granicą sumy <r przy X zmierzającym do 0. Aby udowodnić, że długości p łamanej dążą do tej samej granicy, wystarczy pokazać, że różnica p-a dąży do 0.

W tym celu oszacujemy tę różnicę

\P~°\    ⁺    -l/|>'(*i)]² + [v'(T()]²

Jeśli do każdego składnika tej sumy zastosujemy elementarną nierówność

|<|b-bA(²),

to otrzymamy

\p-o\    Ati.

I

Ponieważ funkcja y/(/) jest ciągła, więc do dowolnie danej liczby £ > 0 można znaleźć takie 3 > 0, że |y'(*)^—y'(<*)l < ^£i jeśli tylko \t-t*\ < 8. Jeśli weźmiemy X < 3 (tzn. jeśli wszystkie ót, < 3), to również |r₍ — r*| < <5, tak że |v’'(t/) —v'(tf)| < £ i

|p-<r|    = e(T—t₀).

t

Stąd wynika już wzór (4).

331. Przykłady

x

1) Linia łańcuchowa y = a cosh — (rys. 9).

a

Już w ustępie 232, 1) mieliśmy wzór

j/l+y'² = cosh —.

(*) Istnienie tej całki wynika od razu z tego, że funkcja podcałkowa jest ciągła [298, 1)].

(²) Dla a = 0 nierówność ta jest oczywista; jeśli natomiast a^O, to wynika ona bezpośrednio z tożsamości

V*+W-y/tf+b\ = ^b+bl -(b-b,).

ya^I + b¹ + ^a²+ b\

ponieważ wartość bezwzględna współczynnika przy różnicy b—b_l jest mniejsza od 1.