str195 (3)

8 7. RÓWNANIA CAŁKOWE TYPU SPLOTU, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWO-CAŁKOWE 195

Równaniem całkow'ym rodzaju drugiego typu splotu nazywamy równanie postaci

(7.2)    F(t) = G(t)+\K(t-x)F(x)dx,

o

gdzie F(t) oznacza funkcję niewiadomą, K{t) i G(t) oznaczają funkcje dane. Zakładamy przy tym, że funkcje K{t), F(t) oraz G{t) są oryginałami. Równanie (7.2) jest oczywiście szczególnym przypadkiem równania Volterry rodzaju drugiego.

Zadania przykładowe

Zadanie 7.1. Znaleźć rozwiązanie y(t) równania

(1)    y(t) = f(t)+$(t-x)y(x)dx.

0

Rozwiązanie. Zauważmy przede wszystkim, że zgodnie z definicją splotu mamy

(2)    $(t-x)y(x)dx =

0

Uwzględniając wzór (2) w prawej stronie równania (1), mamy

(3)    y(t) = f(t)+[t*y(ty].

Stosujemy teraz do obu stron równania (3) przekształcenie Laplace’a i wykorzystując jego liniowość, mamy

(4)    L[y(0] = L[/(0] + L[t*y(t)].

Na mocy wzoru Borela (3.8) mamy

5)    L[t + y(f)] = L(t)- L[y(f)].

Uwzględniając wzór (5) w prawej stronie równania (4), mamy

(6)    L[y (0] = L [/(O] + L(t)-Lly(t)].

Przyjmijmy

(7)    L[/(l)] = <f(S).

Z tablicy przekształceń Laplace’a znajdujemy

(8)    ^L(0 = ^'

Podstawiając związki (7) i (8) do wzoru (6), mamy

(9)    L[y(/)] = ^(S) + ^L[y(t)].

Rozwiązując równanie (9) względem L[y{tj\ jako niewiadomej, otrzymujemy

S²

(10)    Lly(tj] = ^—^(5). u*