60334 str197 (3)

3WANIA 8 7. RÓWNANIA CAŁKOWE TYPU SPLOTU, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWO-CAŁKOWE 197

3WANIA 8 7. RÓWNANIA CAŁKOWE TYPU SPLOTU, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWO-CAŁKOWE 197

odwrotne Laplace’a, mamy

4

p(S)Y

(7)

s²+r

Stosujemy teraz do obu stron równania (3) przekształcenie Laplace’a i wykorzystując jego liniowość, otrzymujemy

(4)    L(y) = L (cos t)—2L [cos t * y (z)] .

Na mocy wzoru Borela (3.8) mamy

(5)    L [cos t * >■(!)] = L (cos ł) ■ L(y).

Podstawiając wzór (5) do równania (4), mamy

(6)    L(y) = L(cosf)—2L(cosI)- L(y).

Z tablicy przekształceń Laplace’a mamy

L (cos i) =

Podstawiając związek (7) do równania (6), mamy

ijemy

ane rozwiązanie równania (1)

Stąd zaś

(8)

L(y) =    -L(y).

S^z + 1

L(y) =

S² + l S

(S+1)²'

Rozkładając prawą stronę (8) na ułamki proste, mamy

1 1

(9)

(10)

L(y) =

S + 1 (S+1)²’

Stosując do obu stron równania (9) odwrotne przekształcenie Laplace’a, mamy

¹ V,-+

f-L~‘

(s + l) ^L ((S+1)²)' '

,s+iy \(s+i)²

Z tablicy przekształceń Laplace’a odczytujemy

T.

nie z definicją splotu mamy

Podstawiając związki (11) do równania (10), otrzymujemy szukane rozwiązanie równania (1)

y = e~\l-t).

Zadanie 7.3. Znaleźć rozwiązanie równania

(1)    y'(t)+4y(t)+5j ydt = e~' przy warunku początkowym

y( 0) = 0.

(2)

I.