3WANIA 8 7. RÓWNANIA CAŁKOWE TYPU SPLOTU, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWO-CAŁKOWE 197
3WANIA 8 7. RÓWNANIA CAŁKOWE TYPU SPLOTU, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWO-CAŁKOWE 197
odwrotne Laplace’a, mamy
4
p(S)Y
(7)
s2+r
Stosujemy teraz do obu stron równania (3) przekształcenie Laplace’a i wykorzystując jego liniowość, otrzymujemy
(4) L(y) = L (cos t)—2L [cos t * y (z)] .
Na mocy wzoru Borela (3.8) mamy
(5) L [cos t * >■(!)] = L (cos ł) ■ L(y).
Podstawiając wzór (5) do równania (4), mamy
(6) L(y) = L(cosf)—2L(cosI)- L(y).
Z tablicy przekształceń Laplace’a mamy
L (cos i) =
Podstawiając związek (7) do równania (6), mamy
ijemy
ane rozwiązanie równania (1)
L(y) = -L(y).
Sz + 1
S2 + l S
(S+1)2'
Rozkładając prawą stronę (8) na ułamki proste, mamy
1 1
L(y) =
f-L~‘
(s + l) L ((S+1)2)' '
,s+iy \(s+i)2
Z tablicy przekształceń Laplace’a odczytujemy
T.
nie z definicją splotu mamy
Podstawiając związki (11) do równania (10), otrzymujemy szukane rozwiązanie równania (1)
y = e~\l-t).
Zadanie 7.3. Znaleźć rozwiązanie równania
(1) y'(t)+4y(t)+5j ydt = e~' przy warunku początkowym
y( 0) = 0.
I.