00098465

n. równani* różniczkowi; cz*sikowf

Równanie (ILI) jest przykładem równania różniczkowego cząstkowego. Tego rodzaju równania występują przy rozwiązywaniu wielu zagadnień geometrii i fizyki. Rozważając na przykład zjawisko rozchodzenia się ciepła w pewnym środowisku przestrzennym, traktujemy temperaturę T jako funkcję współrzędnych x,y,z punktu tej przestrzeni oraz czasu t

T=T(x,y,z,t)

a więc jako funkcję czterech zmiennych. Z nauki o cieple wynika, że między funkcją T(x, y. z, i) a jej pochodnymi cząstkowymi zachodzi pewien związek, o którym będziemy mówili wpJ tego rozdziału. Związek ten stanowi tzw. równanie różniczkowe cząstkowe przewodnictwa ciepła.

Def. Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy równanie

tfu

dx dy '

w którym niewiadomą jest funkcja ir dwóch lub większej liczby zmiennych i w którym występuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa tej funkcji.

Pochodna cząstkowa, o której mowa w powyższej definicji może być pierwszego lub wyższego rzędu ze względu na dowolny układ zmiennych niezależnych. W równaniu mogą występować pochodne cząstkowe różnych rzędów, a także sama funkcja niewiadoma.

Przykłady

du    d u

* dx ^y dy

tfu _ tfu tfu tfu i*u de j dr* djt* ’ dx^J dy* ' dir* dl I są to równania różniczkowe cząstkowe.

I>ef. Liczbę n > J nazywamy rzgdem równania różniczkowego cząstkowego, jeżeli występuje w tym równaniu pochodna cząstkowa rzędu n funkcji niewiadomej, natomiast nie występuje w nim pochodna cząstkowa rzędu wyższego ntż n.

Na przykład pierwsze z równali (II.5) jest rzędu pierwszego, pozostałe zaś — rzędu drugiego.

Def. Całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego cząstkowego rzędu n w obszarze D, nazywamy funkcję klasy C" w obszarze D (tj. funkcję mającą ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie w obszarze D), spełniającą dane równanie w każdym punkcie tego obszaru.

w dowolnym oł>-

Przykład. Funkcja u — x^ry jest całką szczególną równania xu_x-szarze płaskim D, ponieważ jest funkcją klasy C w obszarze D oraz

dla każdego punktu (x; y) a D.

Uwaga- Często całkę szczególną (rozwiązanie szczególne) nazywamy po prostu całką (rO!wlą:aniem).

Def. Całką ogólną lub rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego cząstkowego nazywamy zbiór wszystkich całek szczególnych tego równaniu.

Pamiętamy, że całka ogólna równania różniczkowego zwyczajnego zależy od pewnej liczby stałych dowolnych. Okazuje się, że całka ogólna równania różniczkowego cząstkowego zależy od pewnej liczby funkcji dowolnych, dostatecznie regularnych, z których każda jest funkcją tej samej liczby argumentów o jeden mniejszej od liczby argumentów rozwiązania. Sprawdzimy to na kilku przykładach.

Przykład 1. Woźmy pod uwagę równanie

(ll-fi

Poszukujemy całki ogólnej tego rów nic zależy od zmiennej x. Wynika stąd, że -

s(s)-°- -w

g(yi, gdzie g{y) jesl dowolną funkcją klasy C

w przedziale ( - co, —oo). Oznaczając przez <p(y) dowolną funkcję pierwotną funkcji^O") w tym przedziale oraz przez v(x) dowolną funkcję klasy C⁵ w przedziale (-oo,+oo) otrzymujemy całkę ogólną równania (lt.6):

Mr) i ę>(y)    (ll.t)

Znaleziona całka ogólna zależy od dwóch dowolnych, ale dostatecznie regularnych funkcji, z których każda jest funkcją jednej zmiennej.

Przykład 2. Znaleźć całkę ogólną równania

dc ~ 37 " ^{0    fllS)}

Jeżeli wprowadzimy nowe zmienne niezależne

f = *+>.    *1 - x-y

to funkcja a(x,y) będzie funkcją złożoną zmiennych f i rj:

*(*.» - «	U^ls+*	7«-ł)j -Mf.1)
dh du	dh dh	/ da du	\ I*^11
dr) ’ dy	di dr)'	^w,ęc U ""37“^0	fU )

Całkując równanie ““ = 0, otrzymujemy A(f, rj) » gj** _g{i) dowolnĄ funkcją klasy C‘ w przedziale C-M, + co).Tak więc całka ogólna równania (II.8) ma postać

Ponieważ — «•

<K*,Z) = g(x+y)    (DW)

Znaleziona całka ogólna zależy od jednej funkcji klasy C¹. która jest funkcją jednej zmiennej.