00098465

146 f. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWP. CZĄSTI

Równanie (il.I) jest przykładem równania różniczkowego cząstkowego. Tego rodzaju równania występują przy rozwiązywaniu wielu zagadnień geometrii i fizyki. Rozważając na przykład zjawisko rozchodzenia się ciepła w pewnym środowisku przestrzennym, traktujemy temperaturę T jako funkcję współrzędnych x,y,z punktu tej przestrzeni oraz czasu 1

T= T\x,y,z,l)

a więc jako funkcję czterech zmiennych. Z nauki o cieple wynika, że między funkcją T(x, y,z,f) a jej pochodnymi cząstkowymi zachodzi pewien związek, o którym będziemy mówili w p. 6 tego rozdziału. Związek ten stanowi tzw. równanie różniczkowe cząstkowe przewodnictwa ciepła.

Def. Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy równanie

d²u ~d*V

du

dy'

J²u_ dxdy '

^F [*■’..........

w którym niewiadomą jest funkcja if dwóch lub większej liczby zmiennych i w którym występuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa tej funkcji.

Pochodna cząstkowa, o której mowa w powyższej definicji może być pierwszego lub wyższego rzędu ze względu na dowolny układ zmiennych niezależnych. W równaniu mogą występować pochodne cząstkowe różnych rzędów, a także sama funkcja niewiadoma.

Przykłady

óx * dy ^U

d²u _ d²u d²u d^łi<    d²u _ du

di¹ dx‘ ’ dx² + dy³ ' djr¹ dt są to równania różniczkowe cząstkowe.

Def. Liczbę n > 1 nazywamy rzędem równania różniczkowego cząstkowego, jeżeli występuje w tym równaniu pochodna cząstkowa rzędu n funkcji niewiadomej, natomiast nie występuje w nim pochodna cząstkowa rzędu wyższego niż n.

Na przykład pierwsze z równań (11.5) jest rzędu pierwszego, pozostałe zaś — rzędu drugiego.

Def. Całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego cząstkowego rzędu n w obszarze D, nazywamy funkcję klasy C" w obszarze D (tj. funkcję mającą ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie w obszarze D), spełniającą dane równanie w każdym punkcie tego obszaru.

Przykład. Funkcja u — x²y jest całką szczególną równania xu_x-y u, = u w dowolnym obszarze płaskim D, ponieważ jest funkcją klasy C‘ w obszarze D oraz

x^(x^,y)-y^~ix^,y) = x*y

dla każdego punktu (x;y)c D.

Uwaga. Często całkę szczególną (rozwiązanie szczególne) nazywamy po prostu eMą

(rozwiązaniem).

Def. Całką ogólną lub rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego cząstkowego nazywamy zbiór wszystkich całek szczególnych tego równania.

Pamiętamy, żc całka ogólna równania różniczkowego zwyczajnego zależy od pewnej liczby stałych dowolnych. Okazuje się, że całka ogólna równania różniczkowego cząstkowego zależy od pewnej liczby funkcji dowolnych, dostatecznie regularnych, z których każda jest funkcją tej samej liczby argumentów o jeden mniejszej od liczby argumentów rozwiązania. Sprawdzimy to na kilku przykładach.

Przykład 1. Weźmy pod uwagę n

ur.s)

Poszukujemy całki ogólnej tego równania. Ponieważ

uęc pochodna —

dy

nie zależy od zmiennej x. Wynika stąd, że -- = giy), gdzie x(y) jest dowolną funkcją Wąsy C dy

w przedziale ( - co, -co). Oznaczając przez ?!y) dowolną funkcję pierwotną funkcji^(y) w tym przedziale oraz przez y(x) dowolną funkcję klasy C^J w przedziale (- oo, -fco) otrzymujemy całkę ogólną równania (U.6):

u{x,y) - <p(x) \~f(y)    (11.7)

Znaleziona całka ogólna zależy od dwóch dowolnych, ale dostatecznie regularnych funkcji, z których każda jest funkcją jednej zmiennej.

Przykład 2. Znaleźć całkę ogólną równania

Jeżeli wprowadzimy nowe zmienne niezależne

f = js+y, n - x-y to funkcja u(x,y) będzie funkcją złożoną zmiennych £ i ij:

Mx,y) - u [ '- <*+*>. -j «-»)] - A'(f, n)

du    dh    d k    du    dh    dh    Idu    du    \    I dh    \

Ponieważ — = — + —,    — -= — - więc ----— =» 0}» — «= oj

dar    d£    dij    dy    d£    d?j    \dx    dy    /    \dtj    }

Całkując równanie — = 0, otrzymujemy h(£,_v) = g«), gdzieś jest dowolną funkcją klasy C^l w przedziale (—co, +oo).Tak więc całka ogólna równania (.11.8) ma postać

«(*,y) = g(*+y)    (0-9)

Znaleziona i

całka ogólna zalety od jednej funkcji klasy C', która jest funkcją jednej zmiennej.