103984

Twierdzenie

Ciało zawiera co najmniej dwa elementy (0 * 1). W ciele (K. +, •) A a*& = 0<=>a = 0v6 = 0

a.bek'

A0«tf = 0

atK

Rozważmy ciało (/?. +, •). Przyjmijmy, że i² =-1. Wtedy rozwiązaniem równania x² = -l są liczby urojone i oraz -i.

Definicja (ciało liczb zespolonych/

Ciałem liczb zespolonych nazywamy zbiór liczb postaci [a + bi: a,be R a i² = - \) z dodawaniem + i z mnożeniem •.

Uwaga

C = {a+bi:a,be R a i² = -1}

Twierdzenie

Ciało (C. +,•) jest to najmniejsze ciało (w sensie inkluzji) zawierające ciało (/?.+,•) oraz liczbę urojoną i

Definicja (ciało liczbowe/

Ciało (C,+,•) oraz każdy podzbiór C, który ze względu na działania + i • jest ciałem (podcialo) nazywamy ciałem liczbowym.

Twierdzenie

Najmniejszym ciałem liczbowym w sensie inkluzji jest ciało liczb wymiernych (Q, +, •). Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie algebry)

Każdy wielomian stopnia dodatniego o współczynnikach zespolonych rozkłada się w C na czynniki liniowe.

Definicja (struktury izomorficzne)

Dwie struktury algebraiczne nazywamy izomorficznymi jeśli istnieje funkcja odwzorowująca wzajemnie jednoznacznie jedną strukturę na drugą zachowująca wszystkie działania.

Definicja (przestrzeń liniowa)

Niech (K, +, •) będzie ciałem liczbowym oraz V * 0 będzie grupą przemienną z pewmym działaniem ®. Określmy ponadto działanie zewnętrzne *: K x V —> V takie, że:

1.    A A (a + b)*v = a*v® b*v

2.    A Aa*(v@w) = a*v@a*w

v.Hel' oeK

3.    A A (a*b)*v = a*( b*v)

i«V aMK

4.    A 1 * V = V