3784494705

ROZWIĄZANIA ZADAŃ ¹

Zawody stopnia pierwszego

Zadanie 1. Dowieść, że wśród liczb postaci 50ⁿ + (50n+l)⁵⁰, gdzie n jest liczbą naturalną, występuje nieskończenie wiele liczb złożonych.

Rozwiązanie Sposób I

Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to liczba 50ⁿ z dzielenia przez 3 daje resztę 2. Jeśli ponadto n dzieli się przez 3, to liczba (50n+l)⁵⁰ z dzielenia przez 3 daje resztę 1. Stąd wynika, że liczba 50ⁿ + (50n + l)⁵⁰ jest podzielna przez 3 dla liczb n postaci 6k + 3. Zatem dla liczb n dających z dzielenia przez 6 resztę 3, liczba 50ⁿ + (50n+1)⁵⁰ jest złożona.

Sposób II

Dla liczb n podzielnych przez 5 liczba 50ⁿ + (50n + l)⁵⁰ jest sumą piątych potęg liczb naturalnych. Przyjmijmy w tożsamości (1)    x⁵+y^s = (x+y)(xⁱ-x³y+x²y²-xy³ + y⁴),

x — 50ⁿ'⁵ oraz g/= (50n + l)¹⁰. Z nierówności

1 < x + y< x⁵ + y⁵

wynika, że oba czynniki stojące po prawej stronie równości (1) są większe od 1. To oznacza, że liczba x⁵ + y⁵ = 50ⁿ + (50n + l)⁵⁰ jest dla liczb n podzielnych przez 5 liczbą złożoną.

Uwaga 1.

Podobnie jak w sposobie I można wykazać, że liczba 50ⁿ + (50n + l)⁵⁰ dzieli się przez 3 dla liczb n postaci 6fc + 5.

Uwaga 2.

Nie wszystkie wyrazy ciągu 50ⁿ + (50n+l)⁵⁰ są liczbami złożonymi. Na przykład dla n = 28 otrzymujemy liczbę pierwszą, która ma 158 cyfr. Kolejna liczba pierwsza podanej w zadaniu postaci pojawia się dopiero dla n = 484 i ma 823 cyfry!

*Na podstawie materiałów Komitetu Głównego Olimpiady Matematycznej oraz prac uczestników opracowali Waldemar Pompę i Jarosław Wróblewski.

33