3784497984

Liczby pierwsze, liczby wymierne i niewymierne 13

Zadanie 9. Dowieść, że liczba log₄₀50 jest niewymierna.

Rozwiązanie

Przeprowadzimy dowód nie wprost. Zauważmy, że log₄₀50 jest liczbą dodatnią. Załóżmy, że liczba ta jest wymierna i niech m/n będzie jej przedstawieniem w postaci ilorazu liczb naturalnych. Wówczas otrzymujemy kolejno:

log₄₀ 50 — —,    40^m/ⁿ — 50,    40^m = 50".

n

Porównując rozkłady na czynniki pierwsze obu stron równości otrzymujemy

Opm _ c_2ⁿ 5²ⁿ

co wobec jednoznaczności rozkładu liczb naturalnych na czynniki pierwsze pociąga równość odpowiednich wykładników w obu rozkładach:

3 m = n oraz m = 2n.

Powyższy układ równań ma tylko jedno rozwiązanie w liczbach rzeczywistych: m = n = 0, nie ma więc rozwiązań w liczbach naturalnych.

Udowodniliśmy więc, że liczba log4₀50 nie jest liczbą wymierną.

Zadanie 10. Liczby a + b, b+c oraz c+a są wymierne. Czy możemy stąd wnioskować, że liczby a, b, c są wymierne?

Rozwiązanie

Tak, mamy bowiem

(a+b) + (c+a) — (b+c)

2

i podobnie dla liczb b, c.

Zadanie 11. Liczby a + b, b + c oraz c + a są niewymierne. Czy możemy stąd wnioskować, że liczba a + b+c jest niewymierna?

Rozwiązanie

Nie, np. dla liczb a = V2, b=V2, c = —2y/2 obliczamy, że a + b = 2\/2, b + c= — y/2, c+a = —\pl oraz a + 6 + c = 0.

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 12.

Wskazać takie liczby naturalne m, n, że

TO³n⁴ = 2ⁿ-3⁹-5¹³.

Zadanie 13.

Która liczba jest większa: 2⁸ • 18¹⁰ czy 6¹⁹ ?

Zadanie 14.

Obliczyć NWW(12¹², 18¹⁸).