3784497998

Liczby pierwsze, liczby wymierne i niewymierne

Jarosław Wróblewski

Uwaga terminologiczna: Będziemy przyjmować, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.

Bez wdawania się w niepotrzebne formalizmy można powiedzieć, że twierdzenie o jednoznaczności rozkładu liczb naturalnych na czynniki pierwsze orzeka, iż każda liczba naturalna większa od 1 rozkłada się w sposób jednoznaczny na iloczyn liczb pierwszych lub, jak kto woli, na iloczyn potęg różnych liczb pierwszych. Zdrowy rozsądek powie nam bezbłędnie, które rozkłady są istotnie różne, a między którymi różnica polega tylko na sposobie ich zapisu.

W zapisie iloczynowym liczby pierwsze stają się nierozbijalnymi atomami, z których zbudowane są liczby naturalne. Oswoiwszy się z jednoznacznością rozkładu na czynniki pierwsze, możemy mieć pewną trudność w docenieniu jej konsekwencji. Jak wyglądałby świat liczb bez jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze? No cóż, aby to zobaczyć, trzeba wybrać się w podróż do świata, w którym tej jednoznaczności nie ma.

Najpierw jednak zdajmy sobie sprawę, że dzięki jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze, niektóre zadania tylko z pozoru dotyczą liczb, a w praktyce sprowadzają się do czystej kombinatoryki, którą od liczb można byłoby zupełnie oderwać.

Oto przykłady zadań o liczbach i ich kombinatorycznych odpowiedników.

Zadanie la.

Zadanie lb.

Zadanie 2a.

Zadanie 2b.

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne k, dla których prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r, jeżeli iloczyn pqr jest po-dzielny przez 5^k, to co najmniej jeden z czynników p, q, r jest podzielny przez 5³.

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne k, dla których prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Jeżeli w trzech koszykach z owocami znajduje się łącznie co najmniej k jabłek, to w co najmniej jednym koszyku znajdują się co najmniej 3 jabłka.

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne k, dla których prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r, jeżeli iloczyn pqr jest podzielny przez 6^fc, to co najmniej jeden z czynników p. q, r jest podzielny przez 6³.

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne k, dla których prawdziwe jest następujące twierdzenie: