3784497980

9

Liczby pierwsze, liczby wymierne i niewymierne

Jeżeli w trzech koszykach z owocami znajduje się łącznie co najmniej k jabłek i co najmniej k gruszek, to w co najmniej jednym koszyku znajdują się co najmniej 3 jabłka i co najmniej 3 gruszki.

Zadanie 3a. O liczbie naturalnej n wiadomo, że liczba n⁵ jest podzielna przez 3¹¹.

Dla jakiej największej liczby naturalnej k możemy stąd wywnioskować, że liczba n⁵ jest podzielna przez 3^fc?

Zadanie 3b. Basia potrzebuje 11 jabłek. Jabłka są sprzedawane tylko w opakowaniach po 5 sztuk. Ile co najmniej jabłek musi kupić Basia?

Podróż do świata bez jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze

Wyobraźmy sobie świat liczb, który składa się tylko z liczb naturalnych dających przy dzieleniu przez 3 resztę 1. W takim świecie nie da się wprawdzie wykonywać dodawania, jednak mnożenie liczb wykonujemy bez problemu. A to w zupełności wystarczy, aby mówić o podzielności liczb, zdefiniować liczby pierwsze jako liczby większe od 1 i nierozkładalne na iloczyn mniejszych liczb oraz udowodnić twierdzenie o istnieniu rozkładu dowolnej liczby większej od 1 na iloczyn liczb pierwszych. W takim świecie liczbami pierwszymi są 4, 7, 10, 13, ale 16 jest liczbą złożoną, gdyż 16 = 4-4. W tym świecie nie ma jednak jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze, gdyż np. liczba 100 ma dwa istotnie różne rozkłady: 100 = 10 • 10 = 4 • 25.

My, którzy znamy także inne liczby niż tylko tam występujące, możemy patrzeć na ten świat z pozycji Boga, który dostrzega, nazwijmy to, kwarki 2 i 5 stanowiące budulec liczb 4, 10, 25, ale nie mogące istnieć w tym świecie samodzielnie, przeto niedostrzegalne dla jego mieszkańców. Dla tych mieszkańców równość 10-10 = 4-25 ma wymowę taką, jakbyśmy włożyli do koszyka dwa jabłka, potrząsnęli nim trochę i stwierdzili, że znajduje się w nim gruszka i pomidor.

Prześledźmy, jakie druzgocące konsekwencje dla znanych nam prawideł miałoby znalezienie się w tym świecie.

•    Jeżeli p jest liczbą pierwszą oraz iloczyn mn jest podzielny przez p, to co najmniej jeden czynnik m, n jest podzielny przez p.

Kontrprzykład: p = 4, m = n = 10.

My dostrzegamy, że liczba p = 4 rozkłada się na iloczyn 2-2, ponieważ jednak czynnik 2 nie może istnieć samodzielnie w tym świecie, jest niedostrzegalny — dopiero spotykając się w iloczynie mn z drugim takim czynnikiem manifestuje swoją obecność.

•    Liczba naturalna d jest wspólnym dzielnikiem liczb m i n wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona dzielnikiem ich największego wspólnego dzielnika NWD(m, n).